LeetCode 接雨水问题详解 - 动态规划解法
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问题描述
给定一个非负整数数组 height ，每个元素表示柱子的高度。假设这些柱子排列紧密，计算下雨后这些柱子之间能接多少雨水。例如，输入 [0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1] ，输出为 6。
解法思路：动态规划
核心思想
每个位置能接的雨水量取决于其左右两边最高墙中的较矮者。若较矮的墙高于当前柱子，则积水量为两者之差；否则无法积水。
步骤解析
- 预处理左右最高墙 ：
-
left[i]：记录位置i左边的最高墙（不包含i）。 -
right[i]：记录位置i右边的最高墙（不包含i）。
- 计算积水量 ：遍历每个位置，取左右最高墙中的较小值，减去当前高度，累加到结果中。
代码实现
/**
* @param {number[]} height
* @return {number}
*/
var trap = function (height) {
let n = height.length;
let left = new Array(n).fill(0); // 左边最高的墙
let right = new Array(n).fill(0); // 右边最高的墙
for (let i = 1; i < n; i++) {
// 从左到右遍历，记录每个位置左边最高的墙
left[i] = Math.max(left[i - 1], height[i - 1]);
}
for (let i = n - 2; i >= 0; i--) {
// 从右到左遍历，记录每个位置右边最高的墙
right[i] = Math.max(right[i + 1], height[i + 1]);
}
console.log(left, right);
let ans = 0;
for (let i = 0; i < n; i++) {
// 遍历每个位置，计算每个位置能接的水
let level = Math.min(left[i], right[i]);
//只有较小的一段大于当前列的高度才会有水，其他情况不会有水
if (level > height[i]) {
// 接水 = 较矮的一边减去当前位置的高度
ans += level - height[i];
}
}
return ans;
};
console.log(trap([0, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 3, 2, 1, 2, 1]));
复杂度分析
-
时间复杂度 ：O(n)，三次遍历数组。
-
空间复杂度 ：O(n)，存储左右最高墙的数组。
示例解析
以输入 [0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1] 为例：
- 预处理左右数组 ：
-
left = [0,0,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3] -
right = [3,3,3,3,3,3,3,2,2,2,1,0]
- 计算积水量 ：
-
对于位置
i=2，left[2]=1，right[2]=3，较矮者为1。当前高度为0，积水1。 -
其他位置类似，累加后总积水量为6。
画图解析
求每一列的水，我们只需要关注当前列，以及左边最高的墙，右边最高的墙就够了。
装水的多少，当然根据木桶效应，我们只需要看左边最高的墙和右边最高的墙中较矮的一个就够了。
所以，根据较矮的那个墙和当前列的墙的高度可以分为三种情况。
较矮的墙的高度大于当前列的墙的高度
把正在求的列左边最高的墙和右边最高的墙确定后，然后为了方便理解，我们把无关的墙去掉。
这样就很清楚了，现在想象一下，往两边最高的墙之间注水。正在求的列会有多少水？
很明显，较矮的一边，也就是左边的墙的高度，减去当前列的高度就可以了，也就是 2 - 1 = 1，可以存一个单位的水。
较矮的墙的高度小于当前列的墙的高度
同样的，我们把其他无关的列去掉。
想象下，往两边最高的墙之间注水。正在求的列会有多少水？
正在求的列不会有水，因为它大于了两边较矮的墙。
较矮的墙的高度等于当前列的墙的高度。
和上一种情况是一样的，不会有水。
明白了这三种情况，程序就很好写了，遍历每一列，然后分别求出这一列两边最高的墙。找出较矮的一端，和当前列的高度比较，结果就是上边的三种情况。
总结
动态规划解法通过预处理左右最高墙，高效计算每个位置的积水量。该方法思路清晰，时间复杂度低，是解决此类问题的经典方法。
