补码系统计算一致性的数学推导

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补码系统设计了一套机制，将数学上的有符号整数范围 [−2n−1,2n−1−1][-2^{n-1}, 2^{n-1} - 1] 映射到无符号整数范围 [0,2n−1][0, 2^n - 1]。映射后，映射后，所有的算术运算（加法、减法等）在无符号二进制运算下，结果等价于有符号整数的数学运算。

补码的核心是设计一种“编码”，让负数、正数在二进制世界里用统一的规则运算，结果和数学一致。

在这种映射规则下，对于正数和零（x≥0x \geq 0），直接用二进制表示，最高位为 0，即B(x)=xB(x) = x，范围：[0,2n−1−1][0, 2^{n-1} - 1]。对于负数（x<0x < 0），负数 −x-x（其中 x>0x > 0）映射为：B(−x)=2n−xB(-x) = 2^n - x，范围：[−2n−1,−1][-2^{n-1}, -1]，整个范围正好覆盖 [0,2n−1][0, 2^n - 1]，共 2n2^n 个值，无浪费。

对于任意有符号整数 k∈[−2n−1,2n−1−1]k \in [-2^{n-1}, 2^{n-1} - 1]：

如果 k≥0k \geq 0：

B(k)=kB(k) = k

如果 k<0k < 0：

B(k)=2n+kB(k) = 2^n + k

因为 k=−xk = -x（x>0x > 0），所以：

B(−x)=2n−x=2n+(−x)B(-x) = 2^n - x = 2^n + (-x)

这一映射确保：

  1. 每个有符号整数 kk 对应唯一的无符号值 B(k)∈[0,2n−1]B(k) \in [0, 2^n - 1]。

  2. 反过来，每个无符号值 u∈[0,2n−1]u \in [0, 2^n - 1] 对应一个有符号整数。

补码的映射不仅覆盖了范围，还保证了运算（特别是加法、减法）在无符号二进制下的结果与有符号整数的数学运算一致。

对于有符号整数加法，有x+(−x)=0x + (-x) = 0，在补码系统中，正数被设计为B(x)=xB(x) = x，负数被设计为B(−x)=2n−xB(-x) = 2^n - x，相加：

B(x)+B(−x)=x+(2n−x)=2nB(x) + B(-x) = x + (2^n - x) = 2^n

在 nn 位硬件中，2n=10000...00002^n = 1 0000 ... 0000（第 n+1n+1 位为 1），寄存器只保留低 nn 位：0000...0000=00000 ... 0000 = 0。从模 2n2^n 视角看：

2n≡0(mod2n)2^n \equiv 0 \pmod{2^n}

所以：

x+(2n−x)≡0(mod2n)x + (2^n - x) \equiv 0 \pmod{2^n}

对于任意任意 a,b∈[−2n−1,2n−1−1]a, b \in [-2^{n-1}, 2^{n-1} - 1]，计算 a+ba + b，结果 ss，补码映射：

B(a)+B(b)mod  2n=B(s)B(a) + B(b) \mod 2^n = B(s)

如果 ss 在范围内，结果正确；如果溢出，模 2n2^n 保证循环性。

对于减法，可以转为加法，a−b=a+(−b)a - b = a + (-b)，B(−b)=2n−bB(-b) = 2^n - b。

硬件用加法器：

B(a)+B(−b)=a+(2n−b)B(a) + B(-b) = a + (2^n - b)

模 2n2^n 后得到正确结果。

要保证循环性（溢出处理），补码形成模 2n2^n 的圆环，最大正数：2n−1−1=0111...11112^{n-1} - 1 = 0111 ... 1111，加 1：

2n−1−1+1=2n−1=2n−2n−1=B(−2n−1)2^{n-1} - 1 + 1 = 2^{n-1} = 2^n - 2^{n-1} = B(-2^{n-1})

最小负数：−2n−1=1000...0000-2^{n-1} = 1000 ... 0000，减 1：

2n−2n−1−1=2n−1−12^n - 2^{n-1} - 1 = 2^{n-1} - 1

溢出时，数值在 [−2n−1,2n−1−1][-2^{n-1}, 2^{n-1} - 1] 内循环，硬件无需额外处理。

推导 B(a)+B(b)mod  2nB(a) + B(b) \mod 2^n 如何映射到 B(a+b)B(a + b)：

对于任意 aa：

B(a)={aif a≥02n+aif a<0B(a) = \begin{cases} a & \text{if } a \geq 0 \\ 2^n + a & \text{if } a < 0 \end{cases}

同理，B(b)B(b) 类似。

计算 B(a)+B(b)B(a) + B(b)，结果模 2n2^n：

S=(B(a)+B(b))mod  2nS = (B(a) + B(b)) \mod 2^n

SS 是 nn 位寄存器的输出，范围 [0,2n−1][0, 2^n - 1]。

需要证明：

  1. 如果 a+b∈[−2n−1,2n−1−1]a + b \in [-2^{n-1}, 2^{n-1} - 1]（无溢出），则：S=B(a+b)S = B(a + b)

  2. 如果 a+ba + b 溢出（超出范围），则 SS 是模 2n2^n 下的正确映射。

假设 a+b=sa + b = s（数学和）。

情况 1：a≥0,b≥0a \geq 0, b \geq 0（正数 + 正数）

补码：

B(a)=a,B(b)=bB(a) = a, \quad B(b) = b

硬件加法：

B(a)+B(b)=a+bB(a) + B(b) = a + b

结果：

S=(a+b)mod  2nS = (a + b) \mod 2^n

无溢出。如果 a+b≤2n−1−1a + b \leq 2^{n-1} - 1（在范围内）：S=a+b=B(a+b)S = a + b = B(a + b)

正溢出。如果 a+b>2n−1−1a + b > 2^{n-1} - 1（超出正数范围）：S=(a+b)mod  2nS = (a + b) \mod 2^n。在补码中，这对应负数（圆环循环）。

情况 2：a<0,b<0a < 0, b < 0（负数 + 负数）

补码：

B(a)=2n+a,B(b)=2n+bB(a) = 2^n + a, \quad B(b) = 2^n + b

硬件加法：

B(a)+B(b)=(2n+a)+(2n+b)=2n+1+(a+b)B(a) + B(b) = (2^n + a) + (2^n + b) = 2^{n+1} + (a + b)

结果：

S=(2n+1+(a+b))mod  2nS = (2^{n+1} + (a + b)) \mod 2^n

因为 2n+1=2⋅2n≡0(mod2n)2^{n+1} = 2 \cdot 2^n \equiv 0 \pmod{2^n}（因为 2nmod  2n=02^n \mod 2^n = 0），所以，S=(a+b)mod  2nS = (a + b) \mod 2^n。

无溢出。如果 −2n−1≤a+b<0-2^{n-1} \leq a + b < 0：S=2n+(a+b)=B(a+b)S = 2^n + (a + b) = B(a + b)

负溢出。如果 a+b<−2n−1a + b < -2^{n-1}：a+ba + b 是负数，模 2n2^n 后：S=2n+(a+b)S = 2^n + (a + b)，可能映射到正数（圆环循环）。

情况 3：a≥0,b<0a \geq 0, b < 0（正数 + 负数）

补码：

B(a)=a,B(b)=2n+bB(a) = a, \quad B(b) = 2^n + b

硬件加法：

B(a)+B(b)=a+(2n+b)=2n+(a+b)B(a) + B(b) = a + (2^n + b) = 2^n + (a + b)

结果：

S=(2n+(a+b))mod  2n=(a+b)mod  2nS = (2^n + (a + b)) \mod 2^n = (a + b) \mod 2^n

无溢出。如果 −2n−1≤a+b≤2n−1−1-2^{n-1} \leq a + b \leq 2^{n-1} - 1：

  • 如果 a+b≥0a + b \geq 0：

    S=a+b=B(a+b)S = a + b = B(a + b)

  • 如果 a+b<0a + b < 0：

    S=2n+(a+b)=B(a+b)S = 2^n + (a + b) = B(a + b)

溢出。正溢出（a+b>2n−1−1a + b > 2^{n-1} - 1）或负溢出（a+b<−2n−1a + b < -2^{n-1}），同前述。

情况 4：a<0,b≥0a < 0, b \geq 0（负数 + 正数）

对称于情况 3：

B(a)=2n+a,B(b)=bB(a) = 2^n + a, \quad B(b) = b
S=(2n+a+b)mod  2n=(a+b)mod  2nS = (2^n + a + b) \mod 2^n = (a + b) \mod 2^n

同上，验证无溢出和溢出情况。

根据补码公式的设计，可以得出硬件上“取反加一”的操作。

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