补码系统设计的数学表达

补码（Two's Complement）是计算机中表示有符号整数的标准方式，其设计目标是：

1. 统一加减法运算：让正数和负数的加法直接用硬件加法器处理，无需额外的减法逻辑。

2. 避免零的歧义：确保零只有一种表示（而不是正零和负零）。

3. 最大化表示范围：在固定位数下尽可能多地表示不同数值。

基于这种设计，能简化硬件电路地实现，只需寄存器、NOT 门（取反）、加法器（加 1）、ALU（算术逻辑单元）即可实现计算。

基于补码系统的设计目标，可以得到补码系统的数学目标：

1. 无缝加法：正数和负数的加法应直接用二进制加法，不需要额外处理符号或绝对值。
2. 单一 0 表示：0 只有一个二进制表示，避免 +0 和 -0 的歧义。
3. 最大范围：在 n 位中表示尽可能多的数值（共 $2^n$ 个）。
4. 循环性：数值形成一个“模运算”循环，溢出时自然绕回。

因为设计出了“负数的补码等于其对应的正数取反加一后的值”这一定义，“取反加 1”正是为了实现上面的数学目标的数学操作。

补码系统中，正数和零的表示直接就是其二进制值，负数的表示是将其对应的正数的二进制值全部位取反后加 1。数学上，“取反加一”可以用公式表达，假设 $x > 0$，令 x 的二进制表示为 $B(x)$ ，长度为 n 位，取反得到 $\overline{B(x)}$，即每一位翻转。负数 -x 的补码表示为：

更精确地，$\overline{B(x)}$ 的值是 $(2^n - 1 - x)$（因为取反后，1 变 0，0 变 1，相当于用最大值减去 x ）。所以：

从数学上看，“取反加 1”确保了负数和正数在加法运算中行为正确，并且满足补码的循环性质。下面对其进行数学分析：

1. 实现加法的一致性

补码的目标是让 $x + (-x) = 0$，即在补码上的计算行为要和原码相同。正数 $x$ 的二进制是 $B(x) = x$，负数 $-x$ 的补码是 $B(-x) = 2^n - x$。相加：

在 $n$ 位二进制中，$2^n$ 是一个溢出，$2^n = 1 0000 ... 0000$（第 $n+1$ 位是 1，后面 $n$ 位是 0），$n$ 位寄存器只保留低 $n$ 位，结果是 $0000 ... 0000 = 0$。所以$x + (-x) = 0$ 成立，这是“取反加 1”的直接结果。

2. 实现循环性质（模运算）

补码系统本质上是对 $2^n$ 取模的运算，任何加法结果超过 $2^n$，会减去 $2^n$（溢出丢弃），负数 $-x$ 表示为 $2^n - x$，正好是模 $2^n$ 下的等价值：

这种循环靠 $2^n - x$ 实现，而“取反加 1”正好计算出 $2^n - x$。

3. 单一零表示

$x = 0$，取反：$1111 ... 1111 = 2^n - 1$，加 1：$2^n - 1 + 1 = 2^n$，模 $2^n$ 后是 0。所以，$B(-0) = B(0)$，零只有一种表示。

“取反”计算 $2^n - 1 - x$，加 1 变成 $2^n - x$，这些都是简单的位操作，所以在硬件上只需实现反转器和加法器。

$n$ 位补码表示 $[-2^{n-1}, 2^{n-1} - 1]$，正好 $2^n$ 个值，无浪费。如果使用原码，+0 和 -0 都表示 0 ，将浪费一个位置。

补码系统 就像一个圆环，数值在 $[0, 2^n - 1]$​ 内循环。当计算 $x + (2^n - x) = 2^n$，$2^n$ 超出 $n$ 位寄存器的范围（最大值是 $2^n - 1$）。硬件自动丢弃溢出位：$2^n = 1 0000 ... 0000$（第 $n+1$ 位为 1），低 $n$ 位是 $0000 ... 0000 = 0$。硬件不需要特殊逻辑，加法溢出自动归零。如果是原码计算，x 和 -x 的原码相加需要特殊的硬件处理逻辑。

$2^n - x$ 让数值形成圆环，溢出自动绕回：

硬件进行补码计算之后，如果计算的结果是负数，只要对计算结果再次进行“取反加一”的操作，就可以得到其绝对值，再加上符号判断，即可得出正确实际结果。其数学原理在于：负数 $-x$ 的补码是 $2^n - x$，对 $2^n - x$ 取反加 1：

逆转了生成补码的过程（$B(-x) = \overline{B(x)} + 1$）。

补码系统的核心思想是设计一套机制，将数学上的有符号整数范围 $[-2^{n-1}, 2^{n-1} - 1]$ 映射到无符号整数范围 $[0, 2^n - 1]$。补码的核心是设计一种“编码”，让负数、正数在二进制世界里用统一的规则运算，结果和数学一致。

数学表达

映射规则

• 正数和零（$x \geq 0$）：

  • 直接用二进制表示，最高位为 0。
  • 映射：$B(x) = x$。
  • 范围：$[0, 2^{n-1} - 1]$，例如 $[0, 2^{31} - 1] = [0, 2,147,483,647]$。

• 负数（$x < 0$）：

  • 负数 $-x$（其中 $x > 0$）映射为：

    $$B(-x) = 2^n - x$$

  • 范围：$[-2^{n-1}, -1]$：

    • 最小值 $-2^{n-1}$，例如：

      $$B(-2^{31}) = 2^{32} - 2^{31} = 2^{31} = 1000 0000 ... 0000$$

    • 次小值 $-2^{n-1} + 1$：

      $$B(-2^{31} + 1) = 2^{32} - (2^{31} - 1) = 2^{31} + 1 = 1000 0000 ... 0001$$

    • 直到 $-1$：

      $$B(-1) = 2^{32} - 1 = 1111 1111 ... 1111$$

• 结果：

  • 正数和零占用 $[0, 2^{n-1} - 1]$：
    • 二进制：$0000 ... 0000$ 到 $0111 ... 1111$。
  • 负数占用 $[2^{n-1}, 2^n - 1]$：
    • 二进制：$1000 ... 0000$ 到 $1111 ... 1111$。
  • 整个范围正好覆盖 $[0, 2^n - 1]$，共 $2^n$ 个值，无浪费。

数学公式

• 对于任意有符号整数 $k \in [-2^{n-1}, 2^{n-1} - 1]$：

  • 如果 $k \geq 0$：

    $$B(k) = k$$

  • 如果 $k < 0$：

    $$B(k) = 2^n + k$$
    • 因为 $k = -x$（$x > 0$），所以：
      $$B(-x) = 2^n - x = 2^n + (-x)$$

• 这一映射确保：

  • 每个有符号整数 $k$ 对应唯一的无符号值 $B(k) \in [0, 2^n - 1]$。
  • 反过来，每个无符号值 $u \in [0, 2^n - 1]$ 对应一个有符号整数。

计算行为一致性

补码的映射不仅覆盖了范围，还保证了运算（特别是加法、减法）在无符号二进制下的结果与有符号整数的数学运算一致。

加法一致性

• 关键目标：$x + (-x) = 0$。

• 补码中：

  • 正数：$B(x) = x$。

  • 负数：$B(-x) = 2^n - x$。

  • 相加：

    $$B(x) + B(-x) = x + (2^n - x) = 2^n$$

  • 在 $n$ 位硬件中：

    • $2^n = 1 0000 ... 0000$（第 $n+1$ 位为 1）。
    • 寄存器只保留低 $n$ 位：$0000 ... 0000 = 0$。

  • 模 $2^n$ 视角：

    $$2^n \equiv 0 \pmod{2^n}$$
    • 所以：
      $$x + (2^n - x) \equiv 0 \pmod{2^n}$$

• 任意加法：

  • 对于任意 $a, b \in [-2^{n-1}, 2^{n-1} - 1]$：

    • 计算 $a + b$，结果 $s$。

    • 补码映射：

      $$B(a) + B(b) \mod 2^n = B(s)$$

    • 如果 $s$ 在范围内，结果正确；如果溢出，模 $2^n$ 保证循环性。

  • 公式推导

    • $B(a)$ 和 $B(b)$ 的定义： $B(a) = a \mod 2^n, \quad B(b) = b \mod 2^n$
    • 硬件加法： $S = (B(a) + B(b)) \mod 2^n$
    • 数学目标： $S = B(a + b)$

    关键是模 $2^n$ 的性质：

    • 对于任意整数 $k$： $B(k) = k \mod 2^n \quad (\text{adjusted to } [-2^{n-1}, 2^{n-1} - 1])$
    • 加法： $a + b \mod 2^n = (B(a) + B(b)) \mod 2^n$

    无溢出：

    • 如果 $-2^{n-1} \leq a + b \leq 2^{n-1} - 1$：

      $$S = a + b \quad (\text{if } a + b \geq 0)$$
      $$S = 2^n + (a + b) \quad (\text{if } a + b < 0)$$
      • 两者都等于 $B(a + b)$。

    溢出：

    • 如果$a + b > 2^{n-1} - 1$（正溢出）：

      $$a + b = 2^n + (a + b - 2^n)$$
      $$S = (a + b) \mod 2^n = a + b - 2^n$$
      • 映射到负数： $B(a + b - 2^n) = a + b - 2^n$

    • 如果$a + b < -2^{n-1}$（负溢出）：

      $$a + b = -2^n + (a + b + 2^n)$$
      $$S = 2^n + (a + b) = a + b + 2^n$$
      • 映射到正数： $B(a + b + 2^n) = a + b + 2^n$

减法一致性

• 减法转为加法：

  • $a - b = a + (-b)$。

  • $B(-b) = 2^n - b$。

  • 硬件用加法器：

    $$B(a) + B(-b) = a + (2^n - b)$$

  • 模 $2^n$ 后得到正确结果。

循环性（溢出处理）

• 补码形成模 $2^n$ 的圆环：

  • 最大正数：$2^{n-1} - 1 = 0111 ... 1111$。

  • 加 1：

    $$2^{n-1} - 1 + 1 = 2^{n-1} = 2^n - 2^{n-1} = B(-2^{n-1})$$

  • 最小负数：$-2^{n-1} = 1000 ... 0000$。

  • 减 1：

    $$2^n - 2^{n-1} - 1 = 2^{n-1} - 1$$

• 溢出时，数值在 $[-2^{n-1}, 2^{n-1} - 1]$ 内循环，硬件无需额外处理。

简单说，补码就像把负数“折叠”到大正数（通过 $2^n - x$），但设计得非常巧妙，让二进制加法器的结果和数学运算完全吻合。