这是一道典型的动态规划题目，分析如下：
首先，动态规划问题的一般形式就是求最值。
求解动态规划的核心问题是穷举。因为要求最值，肯定要把所有可行的答案穷举出来，然后在其中找最值呗。
虽然动态规划的核心思想就是穷举求最值，但是问题可以千变万化，穷举所有可行解其实并不是一件容易的事，需要你熟练掌握递归思维，只有列出正确的「状态转移方程」，才能正确地穷举。
而且，你需要判断算法问题是否具备「最优子结构」，即是否能够通过子问题的最值得到原问题的最值。
另外，动态规划问题存在「重叠子问题」，如果暴力穷举的话效率会很低，可能超时，所以需要使用「备忘录」来优化穷举过程，避免不必要的计算。
以上提到的最优子结构、状态转移方程、重叠子问题优化就是动态规划三要素。实现一般有两种方式，框架伪代码如下：
# 自顶向下递归的动态规划
def dp(状态1, 状态2, ...):
for 选择 in 所有可能的选择:
# 此时的状态已经因为做了选择而改变
result = 求最值(result, dp(状态1, 状态2, ...))
return result
# 自底向上迭代的动态规划
# 初始化 base case
dp[0][0][...] = base case
# 进行状态转移
for 状态1 in 状态1的所有取值：
for 状态2 in 状态2的所有取值：
for ...
dp[状态1][状态2][...] = 求最值(选择1，选择2...)
分析
- 是否满足最优子结构？
假设你有面值为 1, 2, 5 的硬币，你想求 amount = 11 时的最少硬币数（原问题），如果你知道凑出 amount = 10, 9, 6 的最少硬币数（子问题），你只需要把子问题的答案加一（再选一枚面值为 1, 2, 5 的硬币），求个最小值，就是原问题的答案。因为硬币的数量是没有限制的，所以子问题之间没有相互制，是互相独立的。
- 如何列出正确的状态转移方程？
1、确定「状态」，也就是原问题和子问题中会变化的变量。由于硬币数量无限，硬币的面额也是题目给定的，只有目标金额会不断地向 base case 靠近，所以唯一的「状态」就是目标金额 amount。
2、确定「选择」，也就是导致「状态」产生变化的行为。目标金额为什么变化呢，因为你在选择硬币，你每选择一枚硬币，就相当于减少了目标金额。所以说所有硬币的面值，就是你的「选择」。
3、明确 dp 函数/数组的定义。我们这里讲的是自顶向下的解法，所以会有一个递归的 dp 函数，一般来说函数的参数就是状态转移中会变化的量，也就是上面说到的「状态」；函数的返回值就是题目要求我们计算的返回值。就本题来说，状态只有一个，即「目标金额」；而题目要求我们计算凑出目标金额所需的最少硬币数量。所以我们可以这样定义 dp 函数：dp(n) 表示，输入一个目标金额 n，返回凑出目标金额 n 所需的最少硬币数量。
解法一：自顶向下的递归DP + 备忘录
func coinChange(coins []int, amount int) int {
memo := make(map[int]int)
return dp(coins, amount, memo)
}
// dp函数定义：输入一个目标金额 n，返回凑出目标金额 n 所需的最少硬币数量
func dp(coins []int, amount int, memo map[int]int) int{
if amount == 0{
return 0
}
if amount < 0{
return -1
}
if v, ok := memo[amount]; ok{ // 避免重复计算
return v
}
res := math.MaxInt // 要求全局最小值，初始化为最大值
for _, coin := range coins{
// 计算子问题结果
sub := dp(coins, amount-coin, memo)
if sub == -1{ // 子问题无解，跳过
continue
}
// 子问题最优解，再加上当前这枚硬币
res = min(res, sub+1)
}
// 结果存入备忘录
if res == math.MaxInt{
memo[amount] = -1
}else {
memo[amount] = res
}
return memo[amount]
}
func min(a, b int) int{
if a < b {
return a
}
return b
}
解法二：自底向上的迭代DP
func coinChange(coins []int, amount int) int {
// dp[i]表示为了凑目标金额 i至少需要的硬币数
dp := make([]int, amount+1) // 0 ... amount，所以有amount+1个情况
dp[0] = 0
for i := 1; i < len(dp); i++ {
dp[i] = math.MaxInt/2 // 初始值设一个不会与可能答案冲突的正整数，除2防止下面+1溢出
}
for i := 1; i < len(dp); i++ { // 外层 for 循环在遍历所有状态的所有取值
for _, coin := range coins { // 内层 for 循环在求所有选择的最小值
need := i - coin
if need < 0 { // 子问题无解
continue
}
dp[i] = min(dp[i], dp[need]+1) // 子问题答案再+当前这枚硬币
}
}
if dp[amount] == math.MaxInt/2 {
return -1
}
return dp[amount]
}
func min(a, b int) int {
if a < b {
return a
}
return b
}
