红黑树插入操作详解

Asthenian
359 阅读5分钟

红黑树插入操作详解

红黑树（Red-Black Tree）是一种自平衡的二叉搜索树，它通过特定的规则保证树的高度始终保持在对数级别，从而确保插入、删除和查找操作的时间复杂度为 O(log n)。本文将详细讲解向红黑树中插入一个数的具体过程，包括插入步骤和后续的平衡调整。

红黑树的基本性质

在讲解插入过程之前，先回顾一下红黑树的五个基本性质，这些性质是插入后需要维护的核心：

  1. 节点颜色：每个节点要么是红色，要么是黑色。
  2. 根节点：根节点始终是黑色。
  3. 红色约束：红色节点不能有红色子节点（即红色节点的子节点必须是黑色）。
  4. 黑色路径：从根节点到每个叶子节点（NIL节点）的路径上，黑色节点的数量必须相等。
  5. 叶子节点：所有叶子节点（NIL节点）都是黑色。

这些性质确保了红黑树的高度不会超过 2log(n+1)，从而保证了高效性。

插入过程概述

向红黑树中插入一个节点的过程可以分为两大部分：

  1. 标准二叉搜索树插入：按照二叉搜索树的规则找到新节点的插入位置并插入。
  2. 平衡调整：通过颜色调整和旋转操作，修复因插入导致的红黑树性质违反。

新插入的节点默认是红色，因为这样对性质 4（黑色路径）的破坏较小，但可能会违反性质 3（红色节点不能有红色子节点）。因此，插入后的调整主要围绕修复这种冲突展开。

具体步骤

假设我们要插入一个值 X，以下是插入的详细步骤：

步骤 1：标准二叉搜索树插入

  1. 从根节点开始，沿着二叉搜索树的规则向下查找：
    • 如果 X 小于当前节点的值，转向左子树。
    • 如果 X 大于当前节点的值，转向右子树。
  2. 找到合适的空位置（即某个节点的左子树或右子树为 NIL）。
  3. 将新节点 X 插入到该位置，新节点的颜色设为红色，左右子节点设为 NIL。

插入完成后，红黑树的性质可能被破坏，尤其是性质 3（如果父节点也是红色）和性质 2（如果插入的是根节点）。接下来需要通过调整恢复平衡。

步骤 2：平衡调整

插入新节点后，根据父节点和其他相关节点的情况，可能需要进行颜色调整和旋转。调整过程通常通过以下几种情况处理：

情况 0：新节点是根节点
  • 如果插入的节点是树的根节点（即树原本为空），直接将其颜色改为黑色，满足性质 2。
  • 调整结束。
情况 1：父节点是黑色
  • 如果新节点的父节点是黑色，则插入红色节点不会违反任何性质。
  • 无需进一步调整，直接结束。
情况 2：父节点是红色
  • 如果父节点是红色，则违反了性质 3（红色节点不能有红色子节点）。需要根据叔叔节点的颜色进一步分类处理：
    • 情况 2.1：叔叔节点是红色
      • 将父节点和叔叔节点都改为黑色。
      • 将祖父节点改为红色。
      • 将当前节点设置为祖父节点，递归检查祖父节点是否引发新的冲突。
    • 情况 2.2：叔叔节点是黑色（或 NIL）
      • 需要通过旋转和颜色调整来修复。具体分为以下子情况：
        • 2.2.1：当前节点是父节点的右子节点，父节点是祖父节点的左子节点（或对称情况）
          • 对父节点进行左旋（或右旋），将当前节点变为父节点。
          • 转为情况 2.2.2 处理。
        • 2.2.2：当前节点是父节点的左子节点，父节点是祖父节点的左子节点（或对称情况）
          • 将父节点改为黑色，祖父节点改为红色。
          • 对祖父节点进行右旋（或左旋），完成调整。

示例：插入数字 7

假设初始红黑树如下（用 R 表示红色，B 表示黑色）：

     5(B)
    /   \
   3(B)  8(B)
  /
 1(R)

现在插入 7：

  1. 插入过程：
    • 7 < 8，从 8 的左子树查找。
    • 8 的左子树为空，插入 7 作为 8 的左子节点，颜色为红色。
    • 当前树：
     5(B)
    /   \
   3(B)  8(B)
  /     /
 1(R)  7(R)
  1. 调整过程：
    • 7 的父节点 8 是黑色（情况 1）。
    • 无需调整，插入完成。

再插入 6：

  1. 插入过程：
    • 6 < 8，6 > 7，插入 6 作为 7 的左子节点，颜色为红色。
    • 当前树：
     5(B)
    /   \
   3(B)  8(B)
  /     /
 1(R)  7(R)
      /
     6(R)
  1. 调整过程：
    • 6 的父节点 7 是红色（情况 2）。
    • 7 的叔叔节点（8 的右子节点）是 NIL（黑色）。
    • 6 是 7 的左子节点，7 是 8 的左子节点（情况 2.2.2）。
    • 处理：
      • 7 改为黑色，8 改为红色。
      • 对 8 进行右旋：
     5(B)
    /   \
   3(B)  7(B)
  /     /  \
 1(R)  6(R) 8(R)
  • 检查根节点 5，已是黑色，调整结束。

总结

红黑树的插入过程结合了二叉搜索树的插入和红黑树特有的平衡调整。关键在于通过颜色翻转和旋转操作，快速修复因插入红色节点导致的性质违反。最终，红黑树能够在 O(log n) 时间内完成插入并保持平衡，非常适合动态数据集的高效管理。

希望这篇博客能帮助你更好地理解红黑树的插入操作！

avatar
文章
阅读
粉丝