给定一个由 n 个元素组成的集合 s，我们可以使用 Python 中的 itertools.combinations() 函数来找到所有独特的 k 个元素子集。我们将包含所有这些子集的集合称为 S。请注意，每个这样的子集都有 k 个不同的元素。 问题分为两步。首先，给定这些 k 个不同元素的子集，我希望组合（其中一些）它们，使得（组合只是一个一些子集的超集）：
任意两个子集之间的交集为空集 组成组合的所有子集的并集恰好给出原始集合 s
其次，我希望找到不共享任何子集的组合，它们的并集恰好给出 S，即所有 k 个元素子集的集合。
作为这里的一个具体示例，考虑原始集合 s = {a, b, c, d} 和 k = 2，我们现在将获得以下三个组合/超集： {{a, b}, {c, d}}, {{a, c}, {b, d}}, {{a, d}, {b, c}} 显然，s 的大小可以很大，并且 k >= 2，因此这里需要一种高效（尤其是速度）的算法。
- 解决方案 我们可以使用 Baranyai 定理来解决这个问题。Baranyai 定理指出，对于一个 n 个元素的集合 s 和一个整数 k，我们可以找到 m 个 k 个元素子集的组合，使得：
组合中的每个子集都有 k 个不同的元素 组合中的每个子集都包含在集合 s 中 组合中的子集互不重叠 组合的并集恰好是集合 s
我们可以使用最大流算法来计算这些组合。最大流算法是一种有效的算法，可以找到从源点到汇点的最大流量。在我们的情况下，我们将创建一个最大流网络，其中源点是起点，汇点是终点，每个子集都是一个中间点。边的容量是子集包含的元素的数量。
我们将使用最大流算法来计算从源点到汇点的最大流量。最大流量将等于组合中子集的总数。我们可以通过检查每个子集的出边上的流量来找到这些子集。如果子集的出边上的流量为 1，则该子集是组合中的一个子集。
一旦我们找到了组合，我们就可以使用这些组合来回答问题。我们可以通过检查组合中的子集来回答第一部分的问题。我们可以通过计算组合的并集来回答第二部分的问题。
以下是一些代码示例，演示如何使用 Baranyai 定理来找到一组 n 个元素的 k 个不同元素子集的唯一组合：
from collections import defaultdict
from fractions import Fraction
from math import factorial
from operator import itemgetter
def binomial(n, k):
return factorial(n) // (factorial(k) * factorial(n - k))
def find_path(graph, s, t):
stack = [s]
predecessor = {s: t}
while stack:
v = stack.pop()
for u in graph[v]:
if u not in predecessor:
stack.append(u)
predecessor[u] = v
assert t in predecessor
path = [t]
while path[-1] != s:
path.append(predecessor[path[-1]])
path.reverse()
return path
def round_flow(flow):
while True:
capacities = []
for (u, v), x in flow.items():
z = x - x.numerator // x.denominator
if z:
capacities.append(((v, u), z))
capacities.append(((u, v), 1 - z))
if not capacities:
break
(t, s), delta = min(capacities, key=itemgetter(1))
graph = defaultdict(list)
for (v, u), z in capacities:
if (v, u) not in [(s, t), (t, s)]:
graph[v].append(u)
path = find_path(graph, s, t)
for i, v in enumerate(path):
u = path[i - 1]
if (u, v) in flow:
flow[(u, v)] += delta
else:
flow[(v, u)] -= delta
def baranyai(n, k):
m, r = divmod(n, k)
assert not r
M = binomial(n - 1, k - 1)
partition = [[()] * m for i in range(M)]
for l in range(n):
flow = defaultdict(Fraction)
for i, A_i in enumerate(partition):
for S in A_i:
flow[(i, S)] += Fraction(k - len(S), n - l)
round_flow(flow)
next_partition = []
for i, A_i in enumerate(partition):
next_A_i = []
for S in A_i:
if flow[(i, S)]:
next_A_i.append(S + (l,))
flow[(i, S)] -= 1
else:
next_A_i.append(S)
next_partition.append(next_A_i)
partition = next_partition
assert len(partition) == M
classes = set()
for A in partition:
assert len(A) == m
assert all(len(S) == k for S in A)
assert len({x for S in A for x in S}) == n
classes.update(map(frozenset, A))
assert len(classes) == binomial(n, k)
return partition
if __name__ == '__main__':
print(baranyai(9, 3))
print(baranyai(20, 2))
这个代码实现了 Baranyai 定理，并使用最大流算法来计算组合。我们可以使用这个代码来回答关于一组 n 个元素的 k 个不同元素子集的唯一组合的问题。
