48.约数之和（重要）

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来源：牛客网

题目描述

求自然数N的所有约数之和。

输入描述:

输入一行，包含一个正整数n，范围在10000以内

输出描述:

输出一行，包含一个整数.

示例1

输入

10

输出

18

解法一：暴力解

1.先写框架和获取n的值，定义sum为约数之和

#include  <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    int sum = 0;
    return 0;
}

2.从1循环到n,找到符合的约数，加到sum里面，最后输出

#include  <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    int sum = 0;
    for(int i = 1;i <= n;i ++){
        if(n % i == 0){
            sum += i;
        }
    }
    cout << sum;
    return 0;
}

2.试除法求约数的平方根优化(重要)

它是基于以下两个数学性质：

• 约数对称性：约数总是成对出现

• 平方根分界点：在所有约数对中，一个小于等于 n​，另一个大于等于 n​

1.先写框架和获取n的值，定义sum为约数之和

#include  <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    int sum = 0;
    return 0;
}

2.从1到n遍历到√￣n 找到符合的较小的约数，加到sum里面

#include  <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    int sum = 0;
    for(int i = 1;i * i <= n; i++){
        if(n % i == 0){
            sum += i;
        }
    }
    return 0;
}

3.接着找较大的约数，但两个约数不可相等,最后输出

• 每找到一个小约数i，就可以同时找到对应的大约数n/i

• 特别注意：当n是完全平方数时（比如16），要避免重复计算平方根（比如4）

#include  <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    int sum = 0;
    for(int i = 1;i * i <= n; i++){
        if(n % i == 0){
            sum += i;
            if(n != n/i){
                sum += n/i;
            }
        }
    }
    cout << sum;
    return 0;
}