二叉搜索树
二叉搜索树（binary search tree）满足以下条件。
1.对于根节点，左子树中所有节点的值 < 根节点的值 < 右子树中所有节点的值。
2.任意节点的左、右子树也是二叉搜索树，即同样满足条件 1.
二叉搜索树的操作
我们将二叉搜索树封装为一个类 BinarySearchTree ，并声明一个成员变量 root ，指向树的根节点。
查找节点
给定目标节点值 num ，可以根据二叉搜索树的性质来查找。我们声明一个节点 cur ，从二叉树的根节点 root 出发，循环比较节点值 cur.val 和 num 之间的大小关系。
若 cur.val < num ，说明目标节点在 cur 的右子树中，因此执行 cur = cur.right 。
若 cur.val > num ，说明目标节点在 cur 的左子树中，因此执行 cur = cur.left 。
若 cur.val = num ，说明找到目标节点，跳出循环并返回该节点。
二叉搜索树的查找操作与二分查找算法的工作原理一致，都是每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，使用 O(logn) 时间。
/*查找节点*/
func (bst *BinarySearchTree) search(num int) *TreeNode{
node := bst.root
//循环查找，越过叶节点后跳出
for node != nil{
if node.val.(int) < num{
//目标节点num在cur的右子树中
node = node.Right
}else if node.val.(int) > num{
//目标节点num在cur的左子树中
node = node.Left
} else {
break
}
}
//返回目标阶段
return node
}
插入节点
给定一个待插入元素 num ，为了保持二叉搜索树“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质，插入操作流程如下
查找插入位置：与查找操作相似，从根节点出发，根据当前节点值和 num 的大小关系循环向下搜索，直到越过叶节点（遍历至 None ）时跳出循环。
在该位置插入节点：初始化节点 num ，将该节点置于 None 的位置。
在代码实现中，需要注意以下两点。
二叉搜索树不允许存在重复节点，否则将违反其定义。因此，若待插入节点在树中已存在，则不执行插入，直接返回。
为了实现插入节点，我们需要借助节点 pre 保存上一轮循环的节点。这样在遍历至 None 时，我们可以获取到其父节点，从而完成节点插入操作。
/* 插入节点 */
func (bst *binarySearchTree) insert(num int) {
cur := bst.root
//若树为空，则初始化根节点
if cur == nil {
bst.root = NewTreeNode(num)
return
}
//待插入节点之前的节点位置
var pre *TreeNode = nil
//循环查找，越过叶节点后跳出
for cur != nil{
if cur.val == num {
return
}
pre = cur
if cur.val.(int) < num{
cur = cur.Right
} else {
cur = cur.Left
}
}
//插入节点
node := NewTreeNode(num)
if pre.Val.(int) < num {
pre.Right = node
} else {
pre.Left = node
}
}
与查找节点相同，插入节点使用 O(logn) 时间。
删除节点
先在二叉树中查找到目标节点，再将其删除。与插入节点类似，我们需要保证在删除操作完成后，二叉搜索树的“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质仍然满足。因此，我们根据目标节点的子节点数量，分 0、1 和 2 三种情况，执行对应的删除节点操作。
当待删除节点的度为 0 时，表示该节点是叶节点，可以直接删除。
当待删除节点的度为 1 时，将待删除节点替换为其子节点即可。
当待删除节点的度为 2 时，我们无法直接删除它，而需要使用一个节点替换该节点。由于要保持二叉搜索树“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质，因此这个节点可以是右子树的最小节点或左子树的最大节点。
假设我们选择右子树的最小节点（中序遍历的下一个节点），则删除操作流程如下
找到待删除节点在“中序遍历序列”中的下一个节点，记为 tmp 。
用 tmp 的值覆盖待删除节点的值，并在树中递归删除节点 tmp 。
删除节点操作同样使用 O(logn) 时间，其中查找待删除节点需要 O(logn) 时间，获取中序遍历后继节点需要 O(logn) 时间。
/* 删除节点 */
func (bst *binarySearchTree) remove(num int) {
cur := bst.root
// 若树为空，直接提前返回
if cur == nil {
return
}
// 待删除节点之前的节点位置
var pre *TreeNode = nil
// 循环查找，越过叶节点后跳出
for cur != nil {
if cur.Val == num {
break
}
pre = cur
if cur.Val.(int) < num {
// 待删除节点在右子树中
cur = cur.Right
} else {
// 待删除节点在左子树中
cur = cur.Left
}
}
// 若无待删除节点，则直接返回
if cur == nil {
return
}
// 子节点数为 0 或 1
if cur.Left == nil || cur.Right == nil {
var child *TreeNode = nil
// 取出待删除节点的子节点
if cur.Left != nil {
child = cur.Left
} else {
child = cur.Right
}
// 删除节点 cur
if cur != bst.root {
if pre.Left == cur {
pre.Left = child
} else {
pre.Right = child
}
} else {
// 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
bst.root = child
}
// 子节点数为 2
} else {
// 获取中序遍历中待删除节点 cur 的下一个节点
tmp := cur.Right
for tmp.Left != nil {
tmp = tmp.Left
}
// 递归删除节点 tmp
bst.remove(tmp.Val.(int))
// 用 tmp 覆盖 cur
cur.Val = tmp.Val
}
}
中序遍历有序
二叉树的中序遍历遵循“左 → 根 → 右”的遍历顺序，而二叉搜索树满足“左子节点 < 根节点 < 右子节点”的大小关系。
这意味着在二叉搜索树中进行中序遍历时，总是会优先遍历下一个最小节点，从而得出一个重要性质：二叉搜索树的中序遍历序列是升序的。
利用中序遍历升序的性质，我们在二叉搜索树中获取有序数据仅需 O(n) 时间，无须进行额外的排序操作，非常高效。
二叉搜索树的效率
二叉搜索树的效率
给定一组数据，我们考虑使用数组或二叉搜索树存储。观察下表 ，二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，具有稳定且高效的性能。只有在高频添加、低频查找删除数据的场景下，数组比二叉搜索树的效率更高。
| 无序数组 | 二叉搜索树 | |
|---|---|---|
| 查找元素 | O(n) | O(logn) |
| 插入元素 | O(1) | O(logn) |
| 删除元素 | O(n) | O(logn) |
在理想情况下，二叉搜索树是“平衡”的，这样就可以在 logn 轮循环内查找任意节点。
然而，如果我们在二叉搜索树中不断地插入和删除节点，可能导致二叉树退化为链表，这时各种操作的时间复杂度也会退化为 O(n) 。
二叉搜索树常见应用
用作系统中的多级索引，实现高效的查找、插入、删除操作。
作为某些搜索算法的底层数据结构。
用于存储数据流，以保持其有序状态。
