红黑树是一种高效的自平衡二叉搜索树，能够在插入、删除等操作后通过特定规则保持近似平衡，从而保证最坏情况下 (O(\log n)) 的时间复杂度。以下是其核心要点详解：
一、红黑树的五大性质
- 节点颜色：每个节点是红色或黑色。
- 根节点：根必须是黑色。
- 叶子节点：所有叶子（NIL节点，空节点）均为黑色。
- 红色节点规则：红色节点的子节点必须是黑色（不存在连续红色节点）。
- 黑高一致性：从任意节点到其所有叶子节点的路径中，黑色节点数量（黑高）相同。
二、红黑树的设计目标
- 通过约束节点颜色和路径黑高，确保最长路径不超过最短路径的2倍，避免极端不平衡。
- 平衡调整代价低于AVL树，适合频繁插入/删除的场景（如Linux进程调度、Java
TreeMap、C++std::map）。
三、红黑树的核心操作
1. 旋转（Rotation）
- 左旋：以某节点为支点，将其右子节点提升为父节点。
- 右旋：以某节点为支点，将其左子节点提升为父节点。
- 作用：调整子树高度，不破坏二叉搜索树性质。
2. 插入（Insertion）
-
步骤：
- 按二叉搜索树规则插入新节点（初始颜色为红色）。
- 若破坏红黑树规则，通过变色和旋转修复。
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修复策略（根据父节点、叔节点颜色）：
- 叔节点为红色：变色（父、叔变黑，祖父变红），向上递归处理。
- 叔节点为黑：旋转（左/右旋）后调整颜色。
3. 删除（Deletion）
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步骤：
- 找到待删除节点，若有两个非叶子子节点，用后继节点替换。
- 删除节点后，若破坏规则（如黑高变化），通过旋转和变色修复。
-
修复策略（关注兄弟节点颜色和子节点情况）：
- 兄弟节点为红色：旋转后调整颜色。
- 兄弟节点为黑色且其子节点为黑：变色并向上递归。
- 兄弟节点为黑且存在红色子节点：旋转并调整颜色。
四、时间复杂度
- 插入/删除/查找：均 (O(\log n))。
- 调整操作：插入最多2次旋转，删除最多3次旋转。
五、红黑树 vs AVL树
| 特性 | 红黑树 | AVL树 |
|---|---|---|
| 平衡严格度 | 近似平衡（最长路径≤2倍最短） | 严格平衡（高度差≤1） |
| 插入/删除效率 | 更高（调整次数少） | 较低（频繁旋转） |
| 查找效率 | 稍低（高度略高） | 更高（高度最小化） |
| 典型应用 | 频繁修改的场景（如Map） | 频繁查询的场景（如数据库） |
六、应用场景
- 关联容器：C++
std::map、JavaTreeMap。 - 内核调度：Linux虚拟内存管理、进程调度。
- 数据库索引：部分数据库的索引结构。
七、红黑树示例（插入修复）
假设插入节点为红色，导致父节点也为红色：
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Case 1：叔节点为红
- 父、叔变黑，祖父变红，递归处理祖父节点。
-
Case 2：叔节点为黑，且插入节点在父节点的异侧
- 先旋转父节点，转化为Case 3。
-
Case 3：叔节点为黑，且插入节点在父节点的同侧
- 旋转祖父节点，交换父和祖父颜色。
八、总结
红黑树通过颜色标记和旋转策略，在保证高效查询的同时，降低了插入/删除的调整代价，是工程中广泛使用的平衡树结构。理解其核心规则与调整策略是掌握红黑树的关键。
