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三角函数

定义

对于任意角 α\alpha 来说，设P(x,y)P(x, y)是 α\alpha 终边上异于原点的任意一点，r=x2+y2r = \sqrt{x^2 + y^2}

image.png

正弦sin⁡α=yr余弦cos⁡α=xr正切tan⁡α=yx余切cot⁡α=xy正割sec⁡α=rx余割csc⁡α=ry\begin{align} &\text 正弦 \sin\alpha = \frac y r \qquad &\text余弦 \cos\alpha = \frac x r \\ &\text 正切 \tan\alpha = \frac y x \qquad &\text余切 \cot\alpha = \frac x y \\ &\text 正割 \sec\alpha = \frac r x \qquad &\text余割 \csc\alpha = \frac r y \end{align}

为了方便，rr 一般取 1 ，我们把 r=1r = 1 的圆叫做单位圆

同角三角函数

倒数关系
cot⁡α=1tan⁡αsec⁡α=1cos⁡αcsc⁡α=1sin⁡α\cot\alpha = \frac 1 {\tan\alpha} \qquad \sec\alpha = \frac 1 {\cos\alpha} \qquad \csc\alpha = \frac 1 {\sin\alpha}
平方关系
sin⁡2α+cos⁡2α=1tan⁡2α+1=sec⁡2αcot⁡2α+1=csc⁡2α\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \qquad \tan^2\alpha + 1 = \sec^2\alpha \qquad \cot^2\alpha + 1 = \csc^2\alpha
商的关系
tan⁡α=sin⁡αcos⁡α=sec⁡αcsc⁡α(正弦比余弦，正割比余割)cot⁡α=cos⁡αsin⁡α=csc⁡αsec⁡α\tan\alpha = \frac {\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac {\sec\alpha}{\csc\alpha} \text(正弦比余弦，正割比余割) \qquad \cot\alpha = \frac {\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac {\csc\alpha}{\sec\alpha}

诱导公式

第一组

sin⁡(−α)=−sin⁡αcos⁡(−α)=cos⁡αtan⁡(−α)=−tan⁡α\begin{align} &\sin(-\alpha) = -\sin\alpha \\ &\cos(-\alpha) = \cos\alpha \\ &\tan(-\alpha) = -\tan\alpha \end{align}

第二组

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上图以 cos⁡(π−α)=−cos⁡α\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha 为例

sin⁡(π+α)=−sin⁡αcos⁡(π+α)=−cos⁡αtan⁡(π+α)=tan⁡αsin⁡(π−α)=sin⁡αcos⁡(π−α)=−cos⁡αtan⁡(π−α)=−tan⁡αsin⁡(2π+α)=sin⁡αcos⁡(2π+α)=cos⁡αtan⁡(2π+α)=tan⁡αsin⁡(2π−α)=−sin⁡αcos⁡(2π−α)=cos⁡αtan⁡(2π−α)=−tan⁡α\begin{align} &\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha \qquad &\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha \qquad &\tan(\pi + \alpha) = \tan\alpha \\ &\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha \qquad &\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha \qquad &\tan(\pi - \alpha) = -\tan\alpha \\ &\sin(2\pi + \alpha) = \sin\alpha \qquad &\cos(2\pi + \alpha) = \cos\alpha \qquad &\tan(2\pi + \alpha) = \tan\alpha \\ &\sin(2\pi - \alpha) = -\sin\alpha \qquad &\cos(2\pi - \alpha) = \cos\alpha \qquad &\tan(2\pi - \alpha) = -\tan\alpha \\ \end{align}

第三组

image.png

sin⁡(π2+α)=cos⁡αcos⁡(π2+α)=−sin⁡αtan⁡(π2+α)=−cot⁡αsin⁡(π2−α)=cos⁡αcos⁡(π2−α)=sin⁡αtan⁡(π2−α)=cot⁡αsin⁡(3π2+α)=−cos⁡αcos⁡(3π2+α)=sin⁡αtan⁡(3π2+α)=−cot⁡αsin⁡(3π2−α)=−cos⁡αcos⁡(3π2−α)=−sin⁡αtan⁡(3π2−α)=cot⁡α\begin{align} &\sin(\frac \pi 2 + \alpha) = \cos\alpha \qquad &\cos(\frac \pi 2 + \alpha) = -\sin\alpha \qquad &\tan(\frac \pi 2 + \alpha) = -\cot\alpha \\ &\sin(\frac \pi 2 - \alpha) = \cos\alpha \qquad &\cos(\frac \pi 2 - \alpha) = \sin\alpha \qquad &\tan(\frac \pi 2 - \alpha) = \cot\alpha \\ &\sin(\frac {3\pi} 2 + \alpha) = -\cos\alpha \qquad &\cos(\frac {3\pi} 2 + \alpha) = \sin\alpha \qquad &\tan(\frac {3\pi} 2 + \alpha) = -\cot\alpha \\ &\sin(\frac {3\pi} 2 - \alpha) = -\cos\alpha \qquad &\cos(\frac {3\pi} 2 - \alpha) = -\sin\alpha \qquad &\tan(\frac {3\pi} 2 - \alpha) = \cot\alpha \\ \end{align}

通过二、三组诱导公式，可以推出 kπ2±α\frac {k\pi}{2} \pm \alpha 角的公式变化，辅助口诀：奇变偶不变，符号看象限

三角函数参考：

高中数学三角函数公式大全，竞赛高考都适用（含公式推导） - 知乎

【三角函数，高中如何定义？「零基础保姆教程」】 www.bilibili.com/video/BV1KC…

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