一，题目详情
1，问题描述
小M有 n 张卡牌，每张卡牌的正反面分别写着不同的数字，正面是 a_i，背面是 b_i。小M希望通过选择每张卡牌的一面，使得所有向上的数字之和可以被3整除。你需要告诉小M，一共有多少种不同的方案可以满足这个条件。由于可能的方案数量过大，结果需要对 10^9 + 7 取模。
例如：如果有3张卡牌，正反面数字分别为 (1,2)，(2,3) 和 (3,2)，你需要找到所有满足这3张卡牌正面或背面朝上的数字之和可以被3整除的组合数。
2，测试样例
样例1：
输入：n = 3 ,a = [1, 2, 3] ,b = [2, 3, 2]
输出：3
样例2：
输入：n = 4 ,a = [3, 1, 2, 4] ,b = [1, 2, 3, 1]
输出：6
样例3：
输入：n = 5 ,a = [1, 2, 3, 4, 5] ,b = [1, 2, 3, 4, 5]
输出：32
二，解题思路
1，问题分析
我们需要计算所有可能的组合中，使得数字之和可以被3整除的方案数。每张卡牌有两种选择（正面或背面），因此总共有 2^n 种组合。
2，算法策略
使用动态规划来解决这个问题。我们用一个数组 current 来表示当前所有可能的余数（0, 1, 2）的方案数。初始时，余数为0的方案数为1（即空集）。
对于每张卡牌，我们计算选择正面或背面后的新余数，并更新 current 数组。
具体步骤如下：
- 初始化 current = [1, 0, 0]，表示余数0有1种方案。
- 遍历每张卡牌，计算选择正面或背面后的新余数。
- 更新 current 数组，将新余数对应的方案数加到 current 中。
- 最终，current[0] 即为满足条件的方案数。
3，逐步推演（以样例1为例）
输入：n = 3, a = [1, 2, 3], b = [2, 3, 2]
-
初始 current = [1, 0, 0]
-
第一张卡牌 (1, 2)：
- 选择1：余数为 (0 + 1) % 3 = 1
- 选择2：余数为 (0 + 2) % 3 = 2
- current = [0, 1, 1]
-
第二张卡牌 (2, 3)：
- 选择2：余数为 (1 + 2) % 3 = 0，(2 + 2) % 3 = 1
- 选择3：余数为 (1 + 3) % 3 = 1，(2 + 3) % 3 = 2
- current = [1, 2, 2]
-
第三张卡牌 (3, 2)：
- 选择3：余数为 (0 + 3) % 3 = 0，(1 + 3) % 3 = 1，(2 + 3) % 3 = 2
- 选择2：余数为 (0 + 2) % 3 = 2，(1 + 2) % 3 = 0，(2 + 2) % 3 = 1
- current = [3, 3, 3]
最终结果为 current[0] = 3。
三，代码实现
def solution(n: int, a: list, b: list) -> int:
MOD = 10**9 + 7
current = [1, 0, 0] # 初始状态：余数0有1种方案
for i in range(n):
ai_mod = a[i] % 3
bi_mod = b[i] % 3
next_ = [0, 0, 0]
for j in range(3):
if current[j] == 0:
continue
# 选择a[i]
new_j_a = (j + ai_mod) % 3
next_[new_j_a] = (next_[new_j_a] + current[j]) % MOD
# 选择b[i]
new_j_b = (j + bi_mod) % 3
next_[new_j_b] = (next_[new_j_b] + current[j]) % MOD
current = next_
return current[0] % MOD
1，复杂度分析
-
时间复杂度：O(n)
- 遍历每张卡牌一次
-
空间复杂度：O(1)
- 仅使用常数级额外空间
2，边界测试
if __name__ == '__main__':
# 常规测试
print(solution(n = 3, a = [1, 2, 3], b = [2, 3, 2]) == 3)
print(solution(n = 4, a = [3, 1, 2, 4], b = [1, 2, 3, 1]) == 6)
print(solution(n = 5, a = [1, 2, 3, 4, 5], b = [1, 2, 3, 4, 5]) == 32)
# 边界测试：n=1
print(solution(n = 1, a = [1], b = [2]) == 1)
# 边界测试：所有数字相同
print(solution(n = 3, a = [1, 1, 1], b = [1, 1, 1]) == 0)
四，总结
通过动态规划和余数计算，我们实现了：
- 高效计算方案数：利用动态规划和模运算
- 清晰的逻辑：分步处理每张卡牌
- 普适性：适用于所有卡牌数字
这种解法不仅高效，还易于理解和实现。当遇到“需要计算满足特定条件的组合数”类问题时，动态规划和模运算往往是解决问题的关键策略。
