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爬楼梯（Climbing Stairs）

题目描述：

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例：

输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

解题思路：

1. 动态规划：

   • 定义 dp[i] 表示爬到第 i 阶楼梯的方法数。
   • 状态转移方程：dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，因为每次可以爬 1 阶或 2 阶。
   • 初始条件：dp[0] = 1（表示地面），dp[1] = 1（爬 1 阶的方法数）。
   • 最终结果为 dp[n]。

2. 优化空间复杂度：

   • 由于 dp[i] 只依赖于 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，可以用两个变量 prev 和 curr 代替整个 dp 数组。

代码实现（动态规划）：

function climbStairs(n) {
    if (n === 1) return 1; // 边界条件

    const dp = new Array(n + 1).fill(0); // 初始化 dp 数组
    dp[0] = 1; // 初始条件
    dp[1] = 1; // 初始条件

    for (let i = 2; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]; // 状态转移方程
    }

    return dp[n]; // 返回结果
}

// 测试
console.log(climbStairs(2)); // 输出 2
console.log(climbStairs(3)); // 输出 3
console.log(climbStairs(5)); // 输出 8

代码实现（优化空间复杂度）：

function climbStairs(n) {
    if (n === 1) return 1; // 边界条件

    let prev = 1; // 相当于 dp[0]
    let curr = 1; // 相当于 dp[1]

    for (let i = 2; i <= n; i++) {
        const next = prev + curr; // 计算 dp[i]
        prev = curr; // 更新 prev
        curr = next; // 更新 curr
    }

    return curr; // 返回结果
}

// 测试
console.log(climbStairs(2)); // 输出 2
console.log(climbStairs(3)); // 输出 3
console.log(climbStairs(5)); // 输出 8

复杂度分析：

• 时间复杂度：O(n)，需要遍历 n 次。
• 空间复杂度：
  • 动态规划：O(n)，需要存储 dp 数组。
  • 优化空间复杂度：O(1)，只使用了常数个额外空间。