【笔记】向量与矩阵

parcool
165 阅读3分钟

笔记而已。。。

向量

写作：a⃗\vec{a}或a\mathbf{a}，前一种是物理或手写方式，后一种是数学方式。
向量的长度（模）：x2+y2+z2\sqrt{x^2+y^2+z^2}
  • 写作： ∣∣a⃗∣∣\mid\mid\vec{a}\mid\mid 或 ∣∣a∣∣\mid\mid\mathbf{a}\mid\mid
单位向量：
  • 长度为1的向量
  • 归一化：
a^=a∣∣a∣∣\hat{a} = \frac{\mathbf{a}}{\mid\mid\mathbf{a}\mid\mid}
向量的加法：
  • c⃗\vec{c} = a⃗\vec{a} + b⃗\vec{b}
  • 有平行四边形与首尾相连2种方式
向量的点乘（也叫做内积或数量积）：
  • 两两相乘之后求和的操作，结果是一个标量；
  • （三维）用代数的方式表示：
a⋅b=axbx+ayby+azbz\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z
  • 用夹角的方式表示：
a⋅b=∣∣a∣∣⋅∣∣b∣∣cos⁡θ\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mid\mid\mathbf{a}\mid\mid \cdot\mid\mid\mathbf{b}\mid\mid \cos\theta

其中：

  • θ\theta 为两向量夹角；
  • ∣∣a∣∣\mid\mid\mathbf{a}\mid\mid 和 ∣∣b∣∣\mid\mid\mathbf{b}\mid\mid 分别为向量的模长；
  • cos⁡θ\cos\theta 表示方向相似性：
    • cos⁡θ=1\cos\theta = 1：同方向；
    • cos⁡θ=0\cos\theta = 0：垂直（正交）；
    • cos⁡θ=−1\cos\theta = -1：反方向。
  • 满足以下性质：
  1. 交换律：a⋅b=b⋅a\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}；
  2. 分配律：a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}；
  3. 与模长的关系：a⋅a=∣∣a∣∣2\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = \mid\mid\mathbf{a}\mid\mid^2（向量模长平方）；
  4. 正交性判断：若a⋅b=0\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0，则两向量垂直。
  • 应用场景

    1. 向量a\mathbf{a}在b\mathbf{b}方向的投影长度（标量）：

      投影长度=a⋅b∣∣b∣∣\text{投影长度} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mid\mid\mathbf{b}\mid\mid}

    2. 向量a\mathbf{a}在b\mathbf{b}方向的投影向量：

      projba=(a⋅b∣∣b∣∣2)b\text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \left( \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mid\mid\mathbf{b}\mid\mid^2} \right) \mathbf{b}

    3. 几何图形分析：

      • 判断三角形夹角；
      • 计算平行四边形面积（结合叉乘）；

    4. 计算机图形学：

      • 光照模型中的明暗计算；
      • 表面法线方向检测；
向量的叉乘

1. 代数定义 向量叉乘（叉积、外积）的代数公式为：

  • 三维向量（结果是ab\mathbf{a}\mathbf{b}所在平面的法向量，满足右手法则）：
    设 a=(ax,ay,az)\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)，b=(bx,by,bz)\mathbf{b} = (b_x, b_y, b_z)，则叉乘结果为：
    a×b=(aybz−azby,azbx−axbz,axby−aybx)\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x)
    • 叉乘后的法向量的模长公式为：
∣∣a×b∣∣=∣∣a∣∣⋅∣∣b∣∣sin⁡θ\mid\mid\mathbf{a} \times \mathbf{b}\mid\mid = \mid\mid\mathbf{a}\mid\mid \cdot \mid\mid\mathbf{b}\mid\mid \sin\theta

2. 几何解释：

  • sin⁡θ\sin\theta 表示方向垂直性：
    • sin⁡θ=1\sin\theta = 1：两向量垂直；
    • sin⁡θ=0\sin\theta = 0：两向量平行。

3. 三角形的面积公式： S=∣∣a×b∣∣2S = \frac{\mid\mid\mathbf{a} \times \mathbf{b}\mid\mid}{2}

4. 重要性质

  1. 反交换律：a×b=−b×a\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -\mathbf{b} \times \mathbf{a}；
  2. 分配律：a×(b+c)=a×b+a×c\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}；
  3. 与模长的关系：∣∣a×b∣∣\mid\mid\mathbf{a} \times \mathbf{b}\mid\mid 表示两向量张成的平行四边形面积；
  4. 正交性判断：若 a×b=0\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0}，则两向量平行。

4. 应用场景

  1. 几何图形分析：
    • 计算平行四边形或三角形的面积；
    • 判断两向量是否平行或垂直；
  2. 计算机图形学：
    • 计算表面法线方向（用于光照和渲染）；
    • 判断物体的碰撞方向。

矩阵

略

向量与矩阵

在图形学中，GLM 库提供了多种数学运算的封装，以下从 ​术语分类 和 ​GLM 库实现 两个维度完整梳理所有相关运算：

一、术语分类与数学定义

1. ​点乘（点积/内积/标量积）​
  • ​数学定义：
    a⋅b=axbx+ayby+azbz\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z
    结果为标量，反映向量方向相似性及夹角余弦值。
  • ​别名统一：
    “点乘”与“点积”“内积”“标量积”为同一概念的不同表述，均指代上述运算。
2. ​叉乘（叉积/外积/向量积）​
  • ​数学定义：
    a×b=(aybz−azby, azbx−axbz, axby−aybx)\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y,\ a_z b_x - a_x b_z,\ a_x b_y - a_y b_x)
    结果为垂直于原向量平面的新向量。
  • ​别名统一：
    “叉乘”与“叉积”“外积”“向量积”为同一运算的不同术语。
3. ​矩阵乘法（普通乘法*）​
  • ​数学定义：
    矩阵乘法需满足前列数等于后行数，结果矩阵元素为行乘列累加：
    Cij=∑kAikBkjC_{ij} = \sum_{k} A_{ik} B_{kj}
    用于组合线性变换（如平移、旋转、缩放）。
  • ​存储顺序：
    GLM 中矩阵按 ​列主序（Column-Major）​ 存储，即矩阵的列在内存中连续排列。例如： 
    glm::mat4 m(1.0f); // 单位矩阵的列依次为 [1,0,0,0], [0,1,0,0], [0,0,1,0], [0,0,0,1]
4. ​普通乘法*的其他含义
  • ​标量乘法：向量/矩阵的每个分量乘以标量，例如 vec3 * float。
  • ​逐元素乘法​（非标准数学操作）：两个同维向量/矩阵对应分量相乘，需手动实现或调用特定函数。

二、GLM 库的 C++ 实现

1. ​点乘（点积）​
#include <glm/glm.hpp>
glm::vec3 a(1.0f, 2.0f, 3.0f);
glm::vec3 b(4.0f, 5.0f, 6.0f);
float dot = glm::dot(a, b); // 计算结果：1 * 4 + 2 * 5 + 3 * 6 = 32
2. ​叉乘（叉积）​
glm::vec3 cross = glm::cross(a, b); // 结果向量：(2 * 6-3 * 5, 3 * 4-1 * 6, 1 * 5-2 * 4) = (-3, 6, -3)
3. ​矩阵乘法
glm::mat4 m1 = glm::translate(glm::mat4(1.0f), glm::vec3(1.0f, 2.0f, 3.0f)); // 平移矩阵
glm::mat4 m2 = glm::rotate(glm::mat4(1.0f), glm::radians(45.0f), glm::vec3(0.0f, 1.0f, 0.0f)); // 旋转矩阵
glm::mat4 combined = m1 * m2; // 先旋转后平移（矩阵乘法顺序为从右向左）
4. ​标量乘法
glm::vec3 scaled = a * 2.0f; // 结果向量：(2.0f, 4.0f, 6.0f)
5. ​生成变换矩阵
// 平移、旋转、缩放矩阵
glm::mat4 translation = glm::translate(glm::mat4(1.0f), glm::vec3(2.0f, 0.0f, 0.0f));
glm::mat4 rotation = glm::rotate(glm::mat4(1.0f), glm::radians(90.0f), glm::vec3(0.0f, 0.0f, 1.0f));
glm::mat4 scaling = glm::scale(glm::mat4(1.0f), glm::vec3(2.0f));

三、核心区别总结

​运算类型​输入​输出​GLM 函数/操作符​应用场景
点乘（点积）两个向量标量glm::dot(a, b)投影计算、光照强度
叉乘（叉积）两个三维向量向量glm::cross(a, b)法向量生成、坐标系构建
矩阵乘法两个矩阵矩阵operator*坐标变换组合（MVP 矩阵）
标量乘法向量/矩阵 + 标量向量/矩阵operator*缩放、亮度调整

四、注意事项

  1. ​矩阵乘法顺序：GLM 中矩阵乘法顺序遵循 ​从右向左应用变换，例如 translation * rotation 表示先旋转后平移。
  2. ​列主序存储：矩阵按列存储，与 OpenGL 默认规范一致，传入着色器时无需转置。
  3. ​四元数运算：GLM 支持四元数旋转（glm::quat），避免万向节死锁，适合平滑插值。

如需进一步了解 GLM 的几何计算（如射线相交测试、法线生成），可参考其文档或实际项目中的高级应用。

avatar
文章
阅读
粉丝