LeetCode 322 零钱兑换
思路
给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。
由于硬币数量是无限的，所以本题是完全背包问题。且本题不考虑顺序，所以是求组合，应该外层遍历物品，内层遍历背包
考虑动态规划五部曲：
- dp数组和下标含义：
dp[j]为容量为装满容量为j的包，所需要的最少个数 - 确定递推公式：
dp[j] = min(dp[j], dp[j-coins[i]]+1)。由于当第二个值不存在时，不需要修改dp，内层遍历直接从coins[i]开始即可。如果存在，也需要看是否为初始值，如果是初始值说明没有方法通过第二个方法填满，仍然保留原值。 - dp数组如何初始化：初始化
dp[0]为0，别的初始值需要不能在递推中覆盖别的值，所以应该是最大的数Integer_MAX - 确定遍历顺序：从左到右
- 举例推导dp数组：
解法
class Solution {
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
int[] dp = new int[amount+1];
dp[0] = 0;
for (int i = 1; i < dp.length; i++) {
dp[i] = Integer.MAX_VALUE;
}
for (int i = 0; i < coins.length; i++) {
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
if (dp[j - coins[i]] != Integer.MAX_VALUE) {
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j-coins[i]]+1);
}
}
}
if (dp[amount] == Integer.MAX_VALUE) {
return -1;
}
return dp[amount];
}
}
LeetCode 279 完全平方数
思路
给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。
完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。
本题也不考虑顺序，所以是组合问题，外层遍历完全平方数，内层遍历容量。为了让外层遍历有一个尽头，提前计算n的平方根得到最大的完全平方数。 考虑动态规划五部曲：
- dp数组和下标含义：
dp[j]为和为j的，所需要的完全平方数最少个数 - 确定递推公式：
dp[j] = min(dp[j], dp[j-i*i]+1)。由于当第二个值不存在时，不需要修改dp，内层遍历直接从i*i开始即可。如果存在，也需要看是否为初始值，如果是初始值说明没有方法通过第二个方法填满，仍然保留原值。 - dp数组如何初始化：初始化
dp[0]为0，别的初始值需要不能在递推中覆盖别的值，所以应该是最大的数Integer_MAX - 确定遍历顺序：从左到右
- 举例推导dp数组：
解法
class Solution {
public int numSquares(int n) {
int[] dp = new int[n+1];
int maxNum = (int)Math.sqrt(n);
dp[0] = 0;
for (int i = 1; i < dp.length; i++) {
dp[i] = Integer.MAX_VALUE;
}
for (int i = 1; i <= maxNum; i++) {
int num = i * i;
for (int j = num; j < dp.length; j++) {
if (dp[j-num] != Integer.MAX_VALUE) {
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j-num]+1);
}
}
}
if (dp[n] == Integer.MAX_VALUE) {
return -1;
}
return dp[n];
}
}
LeetCode 139 单词拆分
思路
给你一个字符串 s 和一个字符串列表 wordDict 作为字典。如果可以利用字典中出现的一个或多个单词拼接出 s 则返回 true。
注意：不要求字典中出现的单词全部都使用，并且字典中的单词可以重复使用。
由于单词可以不按顺序出现，所以应该内层遍历字典里的单词，外层遍历字符串s
考虑动态规划五部曲：
- dp数组和下标含义：
dp[i]为能否拼接出s中长度为i的前缀，类型为布尔 - 确定递推公式：
dp[i] = dp[i] ｜｜ dp[i-wordDict[j].length]。仅当wordDict[j]匹配上s[0~i]的相同长度后缀时可以使用第二个值。 - dp数组如何初始化：dp[0]为true，其余均初始化为false
- 确定遍历顺序：从左到右
- 举例推导dp数组：
解法
class Solution {
public boolean wordBreak(String s, List<String> wordDict) {
boolean[] dp = new boolean[s.length()+1];
dp[0] = true;
for (int i = 1; i < dp.length; i++) {
dp[i] = false;
}
for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
for (int j = 0; j < wordDict.size(); j++) {
int strLen = wordDict.get(j).length();
if (i >= strLen && s.substring(0, i).endsWith(wordDict.get(j))) {
dp[i] = dp[i - strLen] || dp[i];
}
}
}
for (boolean b : dp) {
System.out.println(b);
}
return dp[s.length()];
}
}
时间复杂度：，因为返回s的子串需要的复杂度是 空间复杂度：
多重背包 kama 56 携带矿石资源
题目链接：kamacoder.com/problempage…
多重背包知识
有N种物品和一个容量为V 的背包。第i种物品最多有Mi件可用，每件耗费的空间是Ci ，价值是Wi 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间 总和不超过背包容量，且价值总和最大。
多重背包和01背包是非常像的， 为什么和01背包像呢？
每件物品最多有Mi件可用，把Mi件摊开，其实就是一个01背包问题了。
思路
本题是组合问题，外层循环物品，内层循环背包容量。 考虑动态规划五部曲：
- dp数组和下标含义：
dp[j]为装容量为j的背包，能达到的最大价值 - 确定递推公式：
dp[j] = max(dp[j], dp[j-weight[i]]+value[i]) - dp数组如何初始化：都初始化为0
- 确定遍历顺序：从右到左
- 举例推导dp数组：
解法
public class Main {
public static void main (String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int capacity = scanner.nextInt();
int n = scanner.nextInt();
int[] weight = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
weight[i] = scanner.nextInt();
}
int[] value = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
value[i] = scanner.nextInt();
}
int[] count = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
count[i] = scanner.nextInt();
}
int[] dp = new int[capacity+1];
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int counter = 0; counter < count[i]; counter++) {
for (int j = capacity; j >= weight[i]; j--) {
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-weight[i]]+value[i]);
}
}
}
System.out.println(dp[capacity]);
}
}
背包问题总结
回顾不同背包问题的关系：
结合动态规划五部曲：
- dp数组和下标含义
- 确定递推公式
- dp数组如何初始化
- 确定遍历顺序
- 举例推导dp数组 可以看出不同的背包问题在递推公式和遍历顺序上有明显的区分。
递推公式
问能否装满或最多装多少，递推公式如dp[j] = max(dp[j], dp[j-nums[i]] + nums[i])。题目有：
- [[代码随想录算法训练营Day39｜动态规划part03-背包问题#LeetCode 416 分割等和子集]]
- [[代码随想录算法训练营Day41｜动态规划part04#LeetCode 1049 最后一块石头的重量 II]]
问装满背包有几种方法，递推公式如
dp[j] = dp[j] + dp[j-nums[i]]。题目有： - [[代码随想录算法训练营Day41｜动态规划part04#LeetCode 494 目标和]]
- [[代码随想录算法训练营Day42｜动态规划part05-完全背包#LeetCode 518 零钱兑换II]]
- [[代码随想录算法训练营Day42｜动态规划part05-完全背包#LeetCode 377 组合总和 Ⅳ]]
- [[代码随想录算法训练营Day42｜动态规划part05-完全背包#kama 57 爬楼梯 （进阶）]]
问背包装满的最大价值，递推公式如
dp[j] = max(dp[j], dp[j-weight[i]] + value[i])。题目有： - [[代码随想录算法训练营Day41｜动态规划part04#LeetCode 474 一和零]]
问装满背包所用的最少个数，递推公式如
dp[j] = min(dp[j], dp[j-nums[i]]+1)。题目有： - [[代码随想录算法训练营Day43｜动态规划part06#LeetCode 322 零钱兑换]]
- [[代码随想录算法训练营Day43｜动态规划part06#LeetCode 279 完全平方数]]
遍历顺序
01背包
- 二维dp数组：可以先遍历背包，也可以先遍历物品
- 一维dp数组：外层遍历物品，内层遍历背包。且背包容量从大到小遍历
完全背包
- 纯完全背包：可以先遍历物品，也可以先遍历背包
- 求组合数的背包问题：外层遍历物品，内层遍历背包
- 求排列数的背包问题：外层遍历背包，内层遍历物品
今日收获总结
今日学习4小时，总结背包问题的重点其实是遍历顺序。因为递推公式都差别不大，不易出错。
