Dijkstra算法是一种用于在带非负权重的图中找到单源最短路径的经典算法。以下是该算法的关键点总结：
算法步骤
- 初始化：
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将起始节点的距离设为0，其他所有节点的距离设为无穷大（∞）。
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使用优先队列（通常为最小堆）存储节点及其当前最短距离，起始节点首先入队。
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维护一个集合记录已处理的节点。
- 处理节点：
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从优先队列中取出距离最小的节点
u。 -
若
u已处理过，则跳过；否则标记为已处理。 -
遍历
u的所有邻居v：-
计算从起始节点经
u到v的路径长度：alt = dist[u] + weight(u, v)。 -
若
alt < dist[v]，则更新v的距离，并将v重新加入优先队列。
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- 终止条件：
- 当优先队列为空时，算法结束。此时
dist[]中存储了所有节点的最短距离。
关键特性
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贪心策略：每次选择当前最短路径的节点，确保非负权重下局部最优即全局最优。
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时间复杂度：
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使用二叉堆：
O((V + E) log V)，适用于稀疏图。 -
使用斐波那契堆：
O(E + V log V)，理论最优但实现复杂。 -
邻接矩阵遍历：
O(V²)，适合稠密图。
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适用条件：边权重必须非负，否则可能无法得到正确结果。
示例与验证
图结构：
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节点：A, B, C, D
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边：A→B(3), A→C(5), B→C(1), B→D(2), C→D(3)
执行过程：
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初始队列：
[(0, A)]，距离：A=0，其他∞。 -
处理A，更新B(3)、C(5)，队列变为
[(3, B), (5, C)]。 -
处理B，更新C(4)、D(5)，队列变为
[(4, C), (5, D)]。 -
处理C，尝试更新D（7 > 5，不更新），队列剩余
[(5, D)]。 -
处理D，结束。
结果：最短距离为A→B(3), A→B→C(4), A→B→D(5)。
代码实现（Python示例）
import heapq
def dijkstra(graph, start):
distances = {node: float('infinity') for node in graph}
distances[start] = 0
heap = [(0, start)]
processed = set()
while heap:
current_dist, u = heapq.heappop(heap)
if u in processed:
continue
processed.add(u)
for v, weight in graph[u].items():
distance = current_dist + weight
if distance < distances[v]:
distances[v] = distance
heapq.heappush(heap, (distance, v))
return distances
# 示例图
graph = {
'A': {'B': 3, 'C': 5},
'B': {'C': 1, 'D': 2},
'C': {'D': 3},
'D': {}
}
print(dijkstra(graph, 'A')) # 输出：{'A':0, 'B':3, 'C':4, 'D':5}
注意事项
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负权边：Dijkstra算法无法处理，需改用Bellman-Ford算法。
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路径回溯：可通过记录前驱节点（
prev[]数组）重建最短路径。 -
重复入队：允许队列中存在同一节点的多个实例，但已处理节点会被跳过。
通过以上步骤和示例，Dijkstra算法能够高效求解非负权重图的单源最短路径问题。
