记忆化（Memoization）

场景：处理递归问题时（比如斐波那契数列、爬楼梯问题），如果发现存在重复计算的子问题（如 fib(5) 多次计算 fib(3)），可以用 哈希表/数组 缓存结果，时间复杂度直接从指数级降到线性级！

以下是 斐波那契数列 的普通递归和记忆化递归的 Java 实现对比：

普通递归（低效，时间复杂度 O(2ⁿ)）

public class Fibonacci {
    // 普通递归
    public static int fib(int n) {
        if (n <= 1) return n;
        return fib(n - 1) + fib(n - 2);
    }
}

记忆化递归（高效，时间复杂度 O(n)）

import java.util.HashMap;
import java.util.Map;

public class Fibonacci {
    private static Map<Integer, Integer> memo = new HashMap<>();

    // 记忆化递归
    public static int fibMemo(int n) {
        if (n <= 1) return n;
        // 如果缓存中没有 n 的结果，则计算并存入缓存
        if (!memo.containsKey(n)) {
            memo.put(n, fibMemo(n - 1) + fibMemo(n - 2));
        }
        return memo.get(n);
    }
}

对比测试

public static void main(String[] args) {
    int n = 40; // 普通递归会卡住，记忆化递归秒出结果
    System.out.println("记忆化递归结果: " + fibMemo(n));
    // System.out.println("普通递归结果: " + fib(n)); // 慎用，n 太大会超时！
}

关键点：

1. 静态哈希表 memo：用于缓存已计算的斐波那契数。
2. 避免重复计算：递归时优先从缓存读取结果，没有再计算。
3. 性能对比：fibMemo(40) 几乎是瞬间完成，而 fib(40) 需要指数级时间。

进阶优化（使用数组代替哈希表，更高效）：

public class Fibonacci {
    private static Integer[] memoArray;

    // 记忆化递归（数组版）
    public static int fibMemoArray(int n) {
        memoArray = new Integer[n + 1];
        return helper(n);
    }

    private static int helper(int n) {
        if (n <= 1) return n;
        if (memoArray[n] == null) {
            memoArray[n] = helper(n - 1) + helper(n - 2);
        }
        return memoArray[n];
    }
}

试试用记忆化优化你的递归代码，效率直接起飞！ 🚀