DFS 剪枝优化求解生日蛋糕最小表面积问题编程对给出的 $N$ 和 $M$，找出蛋糕的制作方案（适当的 $R_i$ 和

生日蛋糕

题目描述

7 月 17 日是 Mr.W 的生日，ACM-THU 为此要制作一个体积为 $N\pi$ 的 $M$ 层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。

设从下往上数第 $i$ （ $1 \leq i \leq M$ ）层蛋糕是半径为 $R_i$ ，高度为 $H_i$ 的圆柱。当 $i \lt M$ 时，要求 $R_i \gt R_{i+1}$ 且 $H_i \gt H_{i+1}$ 。

由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的下底面除外）的面积 $Q$ 最小。

请编程对给出的 $N$ 和 $M$ ，找出蛋糕的制作方案（适当的 $R_i$ 和 $H_i$ 的值），使 $S=\dfrac{Q}{\pi}$ 最小。

（除 $Q$ 外，以上所有数据皆为正整数）

输入格式

第一行为一个整数 $N$ （ $N \leq 2 \times 10^4$ ），表示待制作的蛋糕的体积为 $N\pi$ 。

第二行为 $M$ （ $M \leq 15$ ），表示蛋糕的层数为 $M$ 。

输出格式

输出一个整数 $S$ ，若无解，输出 $0$ 。

样例 #1

样例输入 #1

100
2

样例输出 #1

题目分析

题意简述

根据蛋糕的体积与层数，求出蛋糕的制作方案使得 $S=\frac{Q}{\pi}$ 最小。保证 $R_i>R_{i+1}且H_i>H_{i+1}$ 。

模型抽象

求重叠圆柱体的最小表面积。

初步思考

先思考表面积的计算方式，蛋糕表面积 = 上表面 + 侧面。其中从俯视的角度去看蛋糕，上表面实际为最底下的圆面积。而侧面积每一层都不同，计算公式为 $S_i=2 \pi {r_i} h_i$ ,体积为 $\pi {r_i}^2 h_i$ 。

暴力解法：

逐层遍历，把每个可能的半径与高度进行尝试。到m层时再进行打擂台。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int ans=2e9;
int r[20],h[20],n,m;
void dfs(int d,int s,int v){
  //d-已处理层数 s-当前s 当前v
  if(d==m){//m层处理完
    if(v==n){//满足体积为n
      ans=min(ans,s);//打擂台找最小s
    }
    return ;
  }	
  //枚举所有的半径与高度的组合
  for(int i=r[d]-1;i>=1;i--){
    for(int j=h[d]-1;j>=1;j--){
      r[d+1]=i;
      h[d+1]=j;
      if(d==0)//第一层时，额外加上上表面
        dfs(d+1,s+i*i+2*i*j,v+i*i*j);
      else
        dfs(d+1,s+2*i*j,v+i*i*j);
      }
  }
}
int main(){
  cin>>n>>m;
  r[0]=sqrt(n);
  h[0]=sqrt(n);
  dfs(0,0,0);
  if(ans==2e9) cout<<0;
  else cout<<ans;
  return 0;
}

优化方向：

当前搜索时，每一层的半径、高度组合过多，可以尝试进行剪枝。

优化思考

当前存在两个限制条件：1. 表面积 2. 体积。若搜索过程中体积已超出限定的n则不用继续搜索。整体寻找的最小的表面积，当前若 $s\ge ans$ ,则越往后只会越来越大，也不需要继续。

void dfs(int d,int s,int v){
  //d-已处理层数 s-当前s 当前v
  if(s>=ans) return ;//最优性剪枝
  if(v>n) return ;//可行性剪枝
  ...
}

当前的剪枝还不够，还需要考虑其他方向。对于体积与侧面积的计算公式为 $v=\pi r^2 h ,s=2 \pi r h$ 。当前剩余体积为 $n-v$ ,高度设 $h=\frac{n-v}{r^2 \pi}$ ，对应的表面积为 $s=h\times2\pi r=\frac{n-v}{r^2\pi}\times2\pi r=2(n-v)/r$ 。若预测出的表面积已经超过了已存储的最小表面积，则不需要继续枚举对应的半径、高度组合了。

void dfs(int d,int s,int v){
  //d-已处理层数 s-当前s 当前v
  if(s>=ans) return ;//最优性剪枝
  if(v>n) return ;//可行性剪枝
  if((n-v)/r[d]*2+s>ans) return;//剩余体积构成的面积，超过了记录的最小值
  ...
}

解题流程

步骤1：逐层枚举所有可能的半径、高度组合，直到处理到第m层。
步骤2：加入最优性剪枝、可行性剪枝。
步骤3：预测剩余体积构成的面积，进行剪枝。

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ans=2e9;
int n,m;
int r[20],h[20];
void dfs(int d,int s,int v){
  //d-已经确定好的层数,s-当前的面积 
  if(s>=ans) return;//最优性剪枝 
  if(v>n) return;//可行性剪枝
  if((n-v)/r[d]*2+s>ans) return;//剩余体积构成的面积，超过了记录的最小值 
  if(d==m){
    if(v==n){
      ans=s;
    }
    return;
  }
  //缩小范围 
  for(int i=r[d]-1;i>=m-d;i--){
    for(int j=h[d]-1;j>=m-d;j--){
      r[d+1]=i;
      h[d+1]=j;
      if(d==0) dfs(d+1,s+i*i+2*i*j,v+i*i*j);
      else dfs(d+1,s+2*i*j,v+i*i*j);
    }
  }
}
int main(){
  cin>>n>>m;
  r[0]=sqrt(n);
  h[0]=n;
	
  dfs(0,0,0);
  if(ans==2e9) cout<<0;
  else cout<<ans;
  return 0;
}

总结回顾

本题的关键在于剪枝的处理：

当前体积超过给定体积，则结束。
当前表面积 $\ge$ 已记录的最小表面积。
估算出剩余体积构成的表面积，利用预估结果进行剪枝。