下面我将非常详细地、逐步地为你推导和讲解，如何通过已知的大地参考系（世界坐标系）中的物体坐标以及相机的内参和外参参数，计算物体在相机拍摄图片上的坐标位置。
📌 一、坐标系概念快速回顾（基础知识）
首先，我们明确一下涉及的三个坐标系：
| 坐标系名称 | 英文 | 含义 |
|---|---|---|
| 世界坐标系（大地参考系） | World Coordinate System | 表示真实世界的坐标系统 |
| 相机坐标系 | Camera Coordinate System | 以相机镜头中心为原点的坐标系 |
| 图像坐标系 | Image Coordinate System | 以图像左上角为原点、像素为单位的二维坐标系 |
📌 二、为什么需要相机的内外参数？（重要问题）
我们需要用两种参数明确坐标之间的变换关系：
- 外参（旋转和平移）负责把世界坐标变成相机坐标。
- 内参（焦距和主点）负责把相机坐标变成图像坐标。
这种逐级变换是精确实现三维空间到二维图像投影的核心。
📌 三、完整推导：从世界坐标到图片坐标（数学原理）
假设我们现在知道了：
- 世界坐标系下某个物体的坐标为：
- 相机的外参为旋转矩阵 R 和平移向量 t：
（外参矩阵表示为）
- 相机的内参矩阵 K：
我们的目标是：
如何确定物体投影到相机拍摄的图片上的坐标（u,vu,v）？
🚩 步骤①：世界坐标系 → 相机坐标系（外参变换）
- 这里的R（旋转矩阵）表示相机朝向。
- 这里的t（平移向量）表示相机位置。
这个公式的物理意义是：
将真实世界的物体位置“平移”和“旋转”，以相机位置为参考。
🚩 步骤②：相机坐标系 → 图像坐标系（内参变换）
经过步骤①，我们得到了物体在相机坐标系下的位置
下一步，通过相机内参矩阵 K 把三维相机坐标投影到二维图像坐标：
我们从针孔相机模型推导公式：
针孔相机模型的基本原理为（来自MathWorks官方文档）：
由几何相似关系，我们得到：
公式解释（非常重要） ：
这样我们就完成了从三维空间坐标到二维图像坐标的完整变换。
📌 四、具体实例（实操演示）
📌 五、引用扩展资料（官方链接）
- MathWorks官方Camera Calibration教程（英文链接） ：
www.mathworks.com/help/vision…
关键英文原文翻译：
| 英文原文 | 中文翻译 |
|---|---|
| To estimate the camera parameters, you need to have 3-D world points and their corresponding 2-D image points. | 要估计相机参数，你需要有三维世界坐标点以及对应的二维图像坐标点。 |
| Using the correspondences, you can solve for the camera parameters. | 利用这些对应点，你就可以解出相机参数。 |
📌 六、知识点快速总结表
| 步骤 | 做法 | 作用 | 含义解释 |
|---|---|---|---|
| 外参变换 | 世界坐标→相机坐标 | 决定物体在相机视野中的位置 | 相机位置、朝向 |
| 内参变换 | 相机坐标→图像坐标 | 决定物体在图像中如何成像 | 焦距、主点 |
🎯 简单通俗理解一句话总结
先用外参确定物体在相机眼里在哪儿，再用内参确定物体在相机拍摄照片中是什么位置、什么大小。
✨以上内容全面覆盖了坐标变换的原理、推导过程、实际案例、官方资料引用与翻译，帮助你深刻理解与清晰讲解。
如果还有其他疑问随时告诉我～
