【量子计算学习笔记】CMU 15-859BB 2018 Lecture 4 酉变换

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旋转矩阵

讲到旋转矩阵的时候听不明白为什么$\ket{0}$ goes to 第一列，$\ket{1}$goes to 第二列，遂去请教了伟大的线代老师3Blue1Brown，关键课件如下： 假定存在更基本的，不变的基坐标（类上图中的底层白网格），用$(\hat{a},\hat{b})$表示，则原坐标系的基坐标$(\hat{i},\hat{j})$可理解为：$\hat{i}$ → $1\times\hat{a}+0\times\hat{b}$，$\hat{j}$ → $0\times\hat{a}+1\times\hat{b}$； 经过矩阵变换后，$\hat{i}$落到了$(1,-2)$，即$1\times\hat{a}-2\times\hat{b}$，$\hat{j}$落到了$(3,0)$，即$3\times\hat{a}+0\times\hat{b}$，一个简洁地表示这种变化的方式便是二维矩阵$\begin{bmatrix}1&3\\-2&0\\\end{bmatrix}$，其中，$\hat{i}$ goes to$\begin{bmatrix}1\\-2\\\end{bmatrix}$，$\hat{j}$ goes to$\begin{bmatrix}3\\0\\\end{bmatrix}$，如图中所示。 那么，为什么逆时针旋转$\theta$角度的旋转矩阵可以表示为$\begin{bmatrix}\cos{\theta}&-\sin{\theta}\\\sin{\theta}&\cos{\theta}\\\end{bmatrix}$?计算过程如下图（草图勿喷> <），展示了$\ket{0}$和$\ket{1}$旋转前后的坐标变化： 博主在课程讲到旋转矩阵时就暂停查资料去也，查完回课后发现讲师也cue到3蓝1棕hhh 只不过是在介绍reflection也是一种rotation时提到。

维他命炸弹(XD   Elitzur-Vaidman Bomb

Lecture 4 和课后讲解（Lecture 4.5）的核心内容，相当有趣的思想实验，简单地记录一下对它的理解。 （本图及下图中，指南针均表示能测量出量子是$\ket{0}$还是$\ket{1}$的基本测量仪器）

对于经典计算场景，只能往盒子中射入$\ket{0}$或者$\ket{1}$的光子，射入$\ket{0}$时，不管有没有炸弹都射出$\ket{0}$，对测量毫无价值；射入$\ket{1}$时，若出射$\ket{1}$则无炸弹，爆炸则有炸弹，只有在爆炸时才能检测出有炸弹。希望能找出一种在爆炸概率尽量小的同时，检测出有炸弹概率尽量高的测量方式。 所以使用量子计算场景：射入与$\ket{0}$夹角为很小的角度$\varepsilon$的$\ket{\psi}$，则该光子被检测为$\ket{0}$的概率非常高，检测为$\ket{1}$的概率非常小，即爆炸的可能性非常小。 当盒子中没有炸弹时，射出的光子仍是$\ket{\psi}$； 当盒子中有炸弹时，射出的光子有很大可能是$\ket{0}$，有很小可能被检测为$\ket{1}$，此时不射出，炸弹爆炸。 所以，如果出射光子的状态为$\ket{0}$，那么盒子中一定有炸弹。 但是，因为无法看到盒子内部，除了爆炸，我们不知道射出的光子到底处于什么状态，所以需要再将射出的光子投入测量仪器中。对于以$\ket{\psi}$状态出射的光子，测量得到$\ket{0}$的概率同样非常高。所以，当我们检测得到$\ket{0}$时，无法确定盒子中到底有没有炸弹（检测得到$\ket{1}$时，倒是可以明确一定没有）。

为了解决$\ket{\psi}$以高概率测量得到$\ket{0}$的问题，重复把炸弹射入黑盒子的步骤$\pi/2\varepsilon$次。此时，如果盒子中没有炸弹，最后射出的光子状态为$\ket{1}$；若盒子中有炸弹，每次射入黑盒子，都有很小的可能爆炸，很大的可能被检测为$\ket{0}$，最后射出的光子状态仍为$\ket{0}$。投入最后的检测装置后，将不会出现检测错误。

计算整个过程中爆炸的概率（计一共投入黑盒子$n$次）：$Pr(explode) \le n \times\sin^2{\varepsilon}\le n \times \varepsilon^2 = {\pi^2\over4n}\le{2.5\over n}$（第一个$\le$，根据$P(X\ge 1)\le np$，二项分布常用公式；第二个$\le$，根据$\sin{x}\le x$）

可见只要使n很大，就可以极大压缩爆炸概率，同时100%检测得到正确结果。相当于用时间换结果。 ​