前言
回溯法常用来解决 组合问题、搜索问题 或 约束满足问题。 它的核心思想是通过 "试探" 和 "回退" 来探索所有可能的解空间，逐步构建解，发现某条路径不可行时，返回到上一步，尝试其他可能的路径。 它是 **深度优先搜索(DFS)**的策略，结合了递归和条件判断。
深度优先搜索（DFS): 主要思路是从图中一个未访问的顶点 V 开始，沿着一条路一直走到底，然后从这条路尽头的节点回退到上一个节点，再从另一条路开始走到底...，不断递归重复此过程，直到所有的顶点都遍历完成，它的特点是不撞南墙不回头，先走完一条路，再换一条路继续走
前序、中序、后序都是 DFS 的一种
基本思想
1、 逐步尝试：从问题的初始状态开始，按照某种规则逐步尝试每一种可能的选择，构建部分解 2、 约束检查：在每一步尝试中， 检查当前的选择是否满足问题的约束条件。如果不满足就放弃这条路经 3、 回退： 如果当前路径无法继续前行，就撤销上一步的选择，返回之前的决策点，尝试其他选项 4、 终止条件： 当找到一个满足条件的完整解，或者遍历完所有可能性时，停止搜索
执行过程
可以用一个隐式的“解空间树”来理解回溯法的过程：
- 根节点是问题的初始状态。
- 每个节点代表一个部分解。
- 分支表示在当前状态下的一种选择。
- 叶节点表示一个完整的解（可能是可行解或不可行解）。
回溯法通过递归在树中探索：
- 从根节点开始，沿着一条路径向下走（选择一个分支）。
- 如果当前路径可行，继续深入；如果不可行，返回上一层。
- 重复此过程，直到找到解或遍历完所有路径
经典例子
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八皇后问题：
- 目标：在8×8棋盘上放置8个皇后，使它们互不攻击。
- 回溯思想：从第一行开始，尝试在每一列放置皇后，检查是否与已放置的皇后冲突。如果冲突，回退到前一行，调整位置。
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迷宫问题：
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目标：从起点走到终点。
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回溯思想：尝试每条可能的路径（上、下、左、右），遇到死路就回退，直到找到出口或确认无解。
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回溯法的优点与缺点
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优点：
- 系统性：保证不会遗漏任何可能的解。
- 通用性：适用于许多问题，如排列、组合、图搜索等。
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缺点：
- 时间复杂度高：如果不加优化，可能需要指数级时间（O(2^n) 或 O(n!)）。
- 空间复杂度：递归调用栈可能占用较多内存。
优化回溯
为了提高效率，可以引入“剪枝”（Pruning）：
- 可行性剪枝：在扩展路径前，提前判断是否可能成功，避免无意义的尝试。
- 最优性剪枝：在求最优解时，排除比当前最优解差的路径。
总结
回溯法的思想本质上是“试错与修正”，通过递归探索所有可能性，并在失败时回退到上一步。它是一种优雅而直观的方法，尤其适合需要穷举解空间的问题。实际应用中，结合剪枝和问题特性，可以显著提升效率。
单词搜索
解题思想
- 逐步尝试：用网格的每个单元格开始，尝试将其他作为单词的起点，逐步匹配单词的么给个字符
- 约束检查：在每一步，检查当前字符是否与单词的对应位置匹配，以及是否越界或重复使用单元格
- 回溯： 如果当前路径无法就配单词的下一个字符，就回退到上一步，尝试其他方向（上下左右）
- 终止条件：匹配单词成功，或者尝试所有路径都失败
解题思路
- 遍历起点： 对网格中的每个单元格，尝试将其作为单词的其实位置
- 深度优先搜索：DFS
- 从当前单元格开始，检查是否匹配每一个单词
- 如果匹配，标记当前单元格已经使用，然后递归探索四个方向（上下左右）
- 如果某个方向探索失败，回退并尝试其他方向
- 状态恢复： 为了避免重复使用单元格，需要在回退时恢复状态（取消标记）
- 剪枝：如果当前字符不匹配，直接返回直白，便面无意义的递归
代码示例
function exist(board: string[][], word: string): boolean {
let rows = board.length, cols = board[0].length;
// 分别代表 右、左、上、下，无限制的四个方向遍历
const directions = [[0, 1], [0, -1], [1, 0], [-1, 0]];
function dfs(i: number, j: number, k: number): boolean {
// 如果匹配整个单词
if (k === word.length) return true;
// 2、约束条件：检查单词是否越界或者不匹配，3、剪枝就是当前字符不配，直接返回失败
if (i < 0 || i >= rows || j < 0 || j >= cols || board[i][j] !== word[k]) {
return false
}
const temp: string = board[i][j];
board[i][j] = "#"; // 使用 “#” 表示已访问
// 向四个方向遍历
for (const [di, dj] of directions) {
if (dfs(i + di, j + dj, k + 1)) {
return true
}
}
// 恢复状态
board[i][j] = temp;
return false
}
// 1、从每个单元格开始尝试
for (let i = 0; i < rows; i++) {
for (let j = 0; j < cols; j++) {
if (dfs(i, j, 0)) return true;
}
}
return false
};
复杂度
-
时间复杂度： O(MN4*L)
- M 和 N 是网格的行数和列数（遍历起点的数量）
- L 是单词的长度，每个单元格最多向四个方向递归 L 次
-
空间复杂度：O(L)，递归栈的最大深度等于单词长度
