3.6 数学：矩阵
学习目标
- 知道什么是矩阵和向量
- 知道矩阵的加法,乘法
- 知道矩阵的逆和转置
- 应用np.matmul、np.dot实现矩阵运算
1 矩阵和向量
1.1 矩阵
矩阵，英文matrix，和array的区别矩阵必须是2维的，但是array可以是多维的。
如图:这个是 3×2 矩阵，即 3 行 2 列，如 m 为行，n 为列，那么 m×n 即 3x2
矩阵的维数即行数×列数
矩阵元素(矩阵项):
Aij 指第 i 行，第 j 列的元素。
1.2 向量
向量是一种特殊的矩阵，讲义中的向量一般都是列向量，下面展示的就是三维列 向量(3×1)。
2 加法和标量乘法
矩阵的加法:行列数相等的可以加。
例:
矩阵的乘法:每个元素都要乘。
例:
组合算法也类似。
3 矩阵乘法
3.1 矩阵向量乘法
矩阵和向量的乘法如图：m×n 的矩阵乘以 n×1 的向量，得到的是 m×1 的向量
例:
1*1+3*5 = 16
4*1+0*5 = 4
2*1+1*5 = 7
矩阵乘法遵循准则：
(M行, N列)*(N行, L列) = (M行, L列)
3.2 矩阵和矩阵乘法
矩阵乘法：
m×n 矩阵乘以 n×o 矩阵，变成 m×o 矩阵。
举例：比如说现在有两个矩阵 A 和 B，那 么它们的乘积就可以表示为图中所示的形式。
3.3 矩阵乘法的性质
矩阵的乘法不满足交换律：A×B≠B×A
矩阵的乘法满足结合律。即：A×（B×C）=（A×B）×C
单位矩阵：在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的 1,我们称 这种矩阵为单位矩阵．它是个方阵，一般用 I 或者 E 表示，从 左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为 1 以外全都为 0。
单位矩阵与任其他矩阵相乘得原矩阵
常见单位矩阵如：
4 逆、转置
矩阵的逆：如矩阵 A 是一个 m×m 矩阵（方阵），如果有逆矩阵，则：
AA-1 = A-1A = I
低阶矩阵求逆的方法:
- 1.待定系数法
- 2.初等变换
- ……
矩阵的转置：
- 设 A 为 m×n 阶矩阵（即 m 行 n 列），第 i 行 j 列的元素是 a(i,j)，即：A=a(i,j)
- 定义 A 的转置为这样一个 n×m 阶矩阵 B，满足 B=a(j,i)，即 b (i,j)=a (j,i)（B 的第 i 行第 j 列元素是 A 的第 j 行第 i 列元素），记 AT =B。
- 直观来看，将 A 的所有元素绕着一条从第 1 行第 1 列元素出发的右下方 45 度的射线作 镜面反转，即得到 A 的转置。
5 矩阵运算
5.1 矩阵乘法api介绍
- np.matmul
- np.dot
>>> a = np.array([[80, 86],
[82, 80],
[85, 78],
[90, 90],
[86, 82],
[82, 90],
[78, 80],
[92, 94]])
>>> b = np.array([[0.7], [0.3]])
>>> np.matmul(a, b)
array([[81.8],
[81.4],
[82.9],
[90. ],
[84.8],
[84.4],
[78.6],
[92.6]])
>>> np.dot(a,b)
array([[81.8],
[81.4],
[82.9],
[90. ],
[84.8],
[84.4],
[78.6],
[92.6]])
np.matmul和np.dot的区别:
二者都是矩阵乘法。
- np.matmul中禁止矩阵与标量的乘法。
- 在矢量乘矢量的內积运算中，np.matmul与np.dot没有区别。
6 小结
-
1.矩阵和向量【知道】
- 矩阵就是特殊的二维数组
- 向量就是一行或者一列的数据
-
2.矩阵加法和标量乘法【知道】
- 矩阵的加法:行列数相等的可以加。
- 矩阵的乘法:每个元素都要乘。
-
3.矩阵和矩阵(向量)相乘 【知道】
- (M行, N列)*(N行, L列) = (M行, L列)
-
4.矩阵性质【知道】
- 矩阵不满足交换率,满足结合律
-
5.单位矩阵【知道】
- 对角线都是1的矩阵,其他位置都为0
-
6.矩阵运算【掌握】
- np.matmul
- np.dot
- 注意：二者都是矩阵乘法。 np.matmul中禁止矩阵与标量的乘法。 在矢量乘矢量的內积运算中，np.matmul与np.dot没有区别。
