为什么在 Python 中 0.1 + 0.2 ≠ 0.3？

在 Python 中使用浮点数时，一定要小心。有一天，我发现浮点数出现了意外的行为。

我运行了一个简单的计算来查看问题所在，结果让我大吃一惊——计算结果竟然是错误的。

我运行了以下代码：

print(0.1 + 0.2)

我本以为结果会是 0.3，但结果却让我震惊，我得到了一个错误的答案。

我开始思考这个多余的 4 是怎么来的。我以为这是一个 Bug，但第二天我又运行了相同的程序，发现它并不是。

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为什么会这样？

问题的根源在于计算机存储浮点数的方式。

我们知道，计算机通常使用二进制（基数为 2），但有些十进制分数无法在二进制中完美表示。

例如，0.1 在二进制中会变成一个无限循环的小数，就像这样：

0.1 在二进制中 ≈ 0.00011001100110011001100110011...

因此，Python 只能存储有限的位数。有时，这会导致微小的舍入误差，而这些误差会累积起来，导致错误的结果。

我知道，这只是一个精度问题，但请记住，它可能会破坏我们的代码。

如果我们像这样检查数字的等式：

我们的程序会给出错误的输出。

从理论上来看，Python使用的是IEEE 754 标准，同样采用该标准的还是JavaScript、C、C++、Java，所以这其实是比较普遍的一个问题。

IEEE 754 标准 是一种广泛采用的浮点数算术标准，它定义了浮点数的表示方式、舍入规则、异常处理等内容。这个标准最早由 IEEE（Institute of Electrical and Electronics Engineers，电气与电子工程师学会）于 1985 年发布，至今在计算机科学和工程领域仍然是浮点数运算的基准。

这个标准定义了两个主要的浮点数表示格式：

• 单精度浮点数（32 位）
• 双精度浮点数（64 位）

此外，还有扩展精度（如 80 位）和更高精度的支持。

单精度浮点数使用 32 位来表示一个浮点数，其中包括三部分：

• 符号位（Sign bit）：1 位，用于表示数值的正负。
• 指数（Exponent）：8 位，表示浮点数的指数部分。它使用偏移量表示法（bias），即将指数值加上一个常数值（在单精度中，偏移量是 127）。
• 尾数（Mantissa 或 Fraction）：23 位，表示浮点数的有效数字部分（小数部分），它以二进制形式存储。

单精度浮点数的表示公式为：

(-1)^S * (1 + Fraction) * 2^(Exponent - Bias)

其中：

• S 是符号位。
• Fraction 是尾数部分（加上隐含的 1）。
• Exponent 是指数部分。
• Bias 是偏移量，对于单精度来说是 127。

而双精度的话则拓展了指数和尾数的位数，分别是11位和52位。

IEEE 754 标准定义了几种舍入模式，通常用于浮点数计算中。当计算结果的精度超出了表示范围时，必须进行舍入。常见的舍入模式包括：

• 1. 向零舍入（Round to Zero）：舍去超出表示范围的部分，接近零的方向舍入。
• 2. 向最近偶数舍入（Round to Nearest, ties to Even）：将结果舍入到最接近的可表示值。如果有两个同样接近的值，则舍入到偶数。
• 3. 向正无穷舍入（Round to Positive Infinity）：舍去超出部分，并且始终舍入到正方向。
• 4. 向负无穷舍入（Round to Negative Infinity）：舍去超出部分，并且始终舍入到负方向

IEEE 754 标准定义了几种舍入模式，通常用于浮点数计算中。当计算结果的精度超出了表示范围时，必须进行舍入。常见的舍入模式包括：

• 1. 向零舍入（Round to Zero）：舍去超出表示范围的部分，接近零的方向舍入。
• 2. 向最近偶数舍入（Round to Nearest, ties to Even）：将结果舍入到最接近的可表示值。如果有两个同样接近的值，则舍入到偶数。
• 3. 向正无穷舍入（Round to Positive Infinity）：舍去超出部分，并且始终舍入到正方向。
• 4. 向负无穷舍入（Round to Negative Infinity）：舍去超出部分，并且始终舍入到负方向

除了 IEEE 754 标准，浮点数的表示和计算还有其他一些标准和方案。不过，IEEE 754 是目前最广泛使用的标准。如：

• IBM Floating Point Format (IBM FP)：IBM 的浮点数使用的是类似于 IEEE 754 的格式，但有一些不同的细节。IBM 的浮点数格式使用了不同的尾数（mantissa）和指数（exponent）的编码方式。
• VAX Floating Point Format：VAX 浮点格式与 IEEE 754 不同，特别是在精度和指数的表示上有很多变化。VAX 标准有 4 种浮点格式。
• Floating Point Standard in CUDA：NVIDIA 的 CUDA 架构对浮点数的支持有特定的要求。虽然 CUDA 中的浮点数标准遵循 IEEE 754，但它们在 GPU 上的实现和优化上有所不同。

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如何解决这个问题？

让我们来了解一下解决方法。

1. 使用 decimal 模块进行高精度计算

Python 提供了 decimal 模块，它提供了比标准的浮点数更高精度的浮点数运算。decimal 使用 十进制表示，避免了浮点数表示的二进制精度问题，特别适合处理金融计算或需要高精度的小数运算。

from decimal import Decimal, getcontext

# 设置全局精度
getcontext().prec = 28

# 使用 Decimal 进行高精度计算
a = Decimal('0.1')
b = Decimal('0.2')
result = a + b

print(result)  # 输出 0.3

Decimal 对象支持更精确的算术运算，舍入方式也可以灵活配置。另外通过 getcontext().prec 设置精度，可以避免浮点数的精度丢失。

2. 使用 fractions 模块进行分数表示

当需要精确表示某些特定的数值（比如1/3）时，可以使用 fractions 模块，它通过分数的方式来表示数字，避免了浮点数的精度问题。

from fractions import Fraction

# 使用 Fraction 表示分数
a = Fraction(1, 3)
b = Fraction(2, 3)
result = a + b

print(result)  # 输出 1

Fraction 可以精确地表示分数，避免了浮点数计算中的舍入误差。它更适合处理小数无法精确表示的情况，特别是在进行数学计算时。

3. 使用 math.isclose 进行浮点数比较

由于浮点数精度问题，直接比较两个浮点数是否相等可能会导致错误。math.isclose 方法提供了一个内置的方式来比较两个浮点数是否相等，它使用一个容差值来判断两个数是否足够接近。

import math

a = 0.1 + 0.2
b = 0.3

# 使用 math.isclose 来判断两个浮点数是否相等
print(math.isclose(a, b, rel_tol=1e-9))  # 输出 True

math.isclose 支持相对误差和绝对误差控制，可以根据需要调整容差值（rel_tol 和 abs_tol 参数）。

4. 避免浮点数直接加法操作

在浮点数计算中，特别是加法和减法操作，顺序和计算方式会影响精度。通过适当调整运算顺序或对中间结果进行汇总来减少误差。例如，对于很多浮点数的加法运算，可以先对较大的数值进行加法，再加上较小的数值，这样可以避免较小数值的精度丢失。

a = 1.0e16
b = 1.0
c = a + b  # 这里 b 的影响可能被忽略
d = b + a  # 通过调整加法顺序，b 的影响就不会被忽略

5. 使用 numpy 提供的高精度数组运算

在科学计算中，numpy 提供了高效的数组操作，它也支持使用高精度浮点数（如 float128）。如果你的计算涉及大量的浮点数，使用 numpy 可以加速运算并减少精度误差。

import numpy as np

# 使用 numpy 提供的高精度浮点数类型
a = np.float128(0.1)
b = np.float128(0.2)
result = a + b

print(result)  # 输出 0.3

numpy 提供了 float128 类型，它可以提供更高的精度，适合于需要高精度的数值计算。不过需要注意，numpy 对于较高精度的支持可能依赖于平台和硬件，某些平台可能无法完全支持 float128。

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根据具体的应用场景，选择适当的策略可以有效减少浮点数计算中的精度问题。