动态规划思想概述
动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种在算法设计中广泛应用的优化技术，主要用于解决具有重叠子问题和最优子结构特性的问题。它的基本思想是将复杂问题分解为更小的子问题，并通过存储这些子问题的解来避免重复计算，从而提高效率。
动态规划的基本原理
动态规划的核心在于通过将原问题分解为若干个子问题，先求解子问题，再从这些子问题的解得到原问题的解。这种方法不仅适用于具有最优子结构性质的问题，还能有效解决子问题之间的重叠性问题
最优子结构
问题的最优解包含子问题的最优解。例如，计算斐波那契数列时，第n项依赖前两项的最优解，这种依赖关系体现了最优子结构
重叠子问题
子问题在分解过程中被重复计算。动态规划通过存储子问题的解（如使用数组或哈希表）避免冗余计算，例如斐波那契数列递归解法中存在大量重复计算，而动态规划可将其时间复杂度从指数级降至线性
无后效性
当前状态仅与前一阶段状态相关，与更早的决策无关。例如迷宫路径规划中，当前位置的下一步选择仅依赖当前坐标，而非如何到达此处
动态规划的应用步骤
- 判题：首先判断题目是否是在寻找一个问题的最优解。
- 分解问题：将大问题分解为更小的子问题，这些子问题之间可能存在重叠。
- 状态转移：找出子问题之间的关联，建立状态转移方程。
- 边界条件：讨论底层的边界问题，确保算法的正确性。
- 迭代求解：使用数组或其他数据结构进行迭代，求出最优解
动态规划与分治法、贪心法的比较
动态规划、分治法和贪心法都是解决复杂问题的有效方法，但它们各有特点：
| 方法 | 特点 | 适用场景 |
|---|---|---|
| 分治法 | 子问题独立，无重叠，递归求解（如归并排序）。 | 子问题无重叠的分解问题 |
| 贪心法 | 每一步选择局部最优，不保证全局最优（如Dijkstra算法）。 | 局部最优可推导全局最优的问题 |
| 动态规划 | 存储子问题解，通过状态转移方程整合结果（如背包问题、最短路径）。 | 具有重叠子问题和最优子结构的最优化问题 |
