🧩 动态规划数组维度选择指南：什么时候用 m+1？什么时候用 m？
"数组多开一格，思路少堵三天" —— 来自某位 debug 到凌晨的程序员
🔍 灵魂拷问：为什么要有两种维度？
每次写动态规划都要纠结数组维度？别慌！让我们先看两个经典场景：
🎯 场景 1：编辑距离（LeetCode 72. 编辑距离）
int[][] dp = new int[m+1][n+1]; // ✅ 多开一格的秘密武器
这里需要处理空字符串的基准情况，比如：
dp[0][3]表示把空字符串变成 3 个字符需要 3 次插入操作dp[3][0]表示删除 3 个字符变成空字符串需要 3 次删除操作
🎯 场景 2：不同路径（LeetCode 62. 不同路径）
int[][] dp = new int[m][n]; // ✅ 精准匹配网格坐标
这里 dp[2][3]直接对应网格的第 3 行第 4 列，不需要处理额外的基准状态
🗺️ 选择维度的心智模型
🌟 选择 (m+1)*(n+1) 的三大标志
- 🚩 空状态处理：就像备用的"零钱袋"，专门存放空字符串/空集合等特殊状态
- 🚩 防越界护盾：当状态转移出现
i-1时，i=0会访问非法索引，+1 就是安全气囊 - 🚩 物理意义对齐：让
dp[i][j]严格对应前 i 个元素的处理结果，像刻度尺般精准
🎯 选择 m*n 的典型场景
🛠️ 实战演示：两种维度的代码对比
案例 1：编辑距离（m+1 版）
int[][] dp = new int[m+1][n+1];
// 🌟 初始化魔法在这里发生
for(int j=0; j<=n; j++) dp[0][j] = j;
// 状态转移三剑客：
dp[i][j] = Math.min(
dp[i-1][j], // 删除操作 📉
dp[i][j-1], // 插入操作 📈
dp[i-1][j-1] // 替换操作 🔄
) + 1;
案例 2：不同路径（m 版）
int[][] dp = new int[m][n];
// 🚀 简单粗暴的初始化
dp[0][0] = 1;
// 状态转移直通车：
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
💡 记忆口诀与快速决策
🧠 三句口诀破解谜题
- +1 是防火墙：防数组越界的终极保镖
- 空位留白艺术：给"虚无状态"一个合法席位
- 网格即坐标：当问题本身就是网格时保持纯净
🌌 三维空间决策：当问题复杂度升级时
案例：股票买卖（LeetCode 123. 买卖股票的最佳时机 III）
int[][][] dp = new int[prices.length][3][2]; // [天数][交易次数][持有状态]
// 第一维度需要+1吗？不需要！因为天数从0开始直接映射
// 但交易次数维度需要k+1？需要！因为0次交易也是一种状态
🚀 高频问题答疑
❓ 为什么背包问题多用(m+1)?
就像超市购物车，
dp[0][j]表示用 0 件商品装满购物车的方式（当然是 0 种啦），这个"空购物车"状态必须存在！
❓ 什么时候能用滚动数组？
当状态转移像接力赛跑 🏃♂️，只需要传递相邻两行数据时（如编辑距离），空间复杂度可从 O(mn)降到 O(n)
❓ 常见翻车现场
- 忘记给"零钱袋"初始化（第一行/列没填）
- 循环范围手滑写错（该用
<=时写成<） - 把字符下标和 dp 维度搞混（字符从 0 开始，dp 维度从 1 开始）
🌈 总结：维度选择的艺术
| 维度选择 | 适用场景 | 经典例题 |
|---|---|---|
(m+1)*(n+1) | 空状态/防越界/严格对齐 | 编辑距离🔄 最长子序列📏 |
m*n | 网格问题/可保护边界/空间优化 | 不同路径🛤️ 最小路径和💰 |
✨ 小技巧：下次写 DP 前，先画个状态转移草图，再对照这个表格检查，保你维度选择不再纠结！🎯
