动态规划理论基础
动态规划，英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。
所以动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的。
动态规划的解题步骤
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
- 确定递推公式
- dp数组如何初始化
- 确定遍历顺序
- 举例推导dp数组
动态规划的debug技巧
打印dp数组，查看推导过程是否和设想一致。
LeetCode 509 斐波那契数
思路
按照五个步骤分析：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义：dp[i]代表第i个斐波那契数
- 确定递推公式：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
- dp数组如何初始化：dp[0]=0, dp[1]=1
- 确定遍历顺序：从3开始由小到大遍历到n
- 举例推导dp数组：假设n为10，dp数组应该为0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55
解法
class Solution {
public int fib(int n) {
int[] dp = new int[n+1];
dp[0] = 0;
if (n > 0) {
dp[1] = 1;
}
for (int i = 2; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
}
return dp[n];
}
}
LeetCode 70 爬楼梯
思路
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
爬到1层有1种方法，爬到2层有两种方法，而爬到3层有几种方法呢？要爬到第3层，要么在第1层走2步，要么在第二层走1步。所以当前的状态和之前的状态有关，我们可以用动态规划。
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义：dp[i]指爬到第i层有几种方法
- 确定递推公式：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
- dp数组如何初始化：dp[1] = 1，dp[2] = 2
- 确定遍历顺序：根据递推公式，高层状态根据低层推导，所以由小到大遍历
- 举例推导dp数组：假设爬到第10层，dp数组应该是1，2，3，5，8，13，21，34，55，89 由于数组下标从0开始，我们此处为了方便，dp[0]设置为1（满足递推公式）
解法
class Solution {
public int climbStairs(int n) {
int[] dp = new int[n+1];
dp[0] = 1;
dp[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
}
return dp[n];
}
}
LeetCode 746 使用最小花费爬楼梯
思路
给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。
你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。
请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。
要爬到下标为2台阶，可以从0开始爬并支付cost[0]，或者从1开始爬支付cost[1]。而我们需要最小花费，那么就在其中选取最小值。
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义：dp[i]指爬到第i层最小的花费。题目要求爬到顶部，所以dp长度比cost大1
- 确定递推公式：dp[i] = min(dp[i-1]+cost[i-1], dp[i-2]+cost[i-2])
- dp数组如何初始化：dp[0] = 0，dp[1] = 0
- 确定遍历顺序：根据递推公式，高层状态根据低层推导，所以由小到大遍历
- 举例推导dp数组：假设cost数组为10，15，20。dp[2]=min(10,15)=10，dp[3]=min(10+20, 0+15)=20
解法
class Solution {
public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
int[] dp = new int[cost.length+1];
dp[0] = 0;
dp[1] = 0;
for (int i = 2; i < dp.length; i++) {
dp[i] = Math.min(dp[i-1]+cost[i-1], dp[i-2]+cost[i-2]);
}
return dp[dp.length-1];
}
}
今日收获总结
今日学习2小时，要用动态规划的标志就是当前状态可以由前面的状态推导
