第1章 什么是数论
数论研究正整数集合
==完全数==：一个数的全部因数（除它本身）之和等于这个数
没有四次方数等于俩个四次方数之和
模4余1的数是俩个平方数之和；模4余3的数不是俩个平方数之和
研究步骤：
1、积累数据 2、分析数据 3、形成猜想 4、验证猜想 5、证明
第2章 勾股数组
本原勾股数组（PPT）
三个数没有公因数
（3，4，5）（5，12，13）（8，15，17）（7，24，25）（20，21，29）（9，40，41）
a是奇数，b是偶数，c是奇数
记号
==N 自然数 Z 整数 Q 有理数 R 实数 C 复数==
第5章 整除性与最大公因数
m整除n指n是m的倍数，m|n
==gcd(m,n)==最大公因数
第6章 线性方程与最大公因数
==线性方程定理==： a、b非零整数，g=gcd（a，b），方程ax+by=g，总有一个整数解。
第7章 因数分解与算术基本定理
==算术基本定理==：每个整数可唯一分解成素数乘积
第8章 同余式
==线性同余式定理==
设a、c、m是整数，m≥1，且设g=gcd（a，m）：
（a）、如果g不整除c，则同余式ax≡c（mod m）没有解；
（a）、如果g整除c（g|c），则同余式ax≡c（mod m）有g个不同的解。
第9章 同余式、幂与费马小定理
==费马小定理==：p是素数，a不是p的倍数，则
a^p-1^ ≡ 1（mod p）
第10章 同余式、幂与欧拉公式
在1与m之间且与m互素的数的数量，==欧拉函数Φ(m)==
==欧拉公式==：如果gcd（a，m）=1，则a^Φ(m)^ ≡1（mod m）
第11章 欧拉函数与中国剩余定理
==Φ(p^k^)=p^k^ - p^k-1^==
如果gcd（m，n）=1，则Φ(mn)=Φ(m) * Φ(n)
==中国剩余定理==：gcd（m，n）=1，b、c是任意整数，则同余式组
x≡b（mod m）与 x≡c（mod m），恰有一个解0≤x＜mn
第13章 素数计数
==素数定理==：当x很大时，小于x的素数个数近似等于x/lnx
第14章 梅森素数
形如2^p^ -1 的素数称为梅森素数
第15章 梅森素数与完全数
==欧几里得完全数公式==：如果2^p^ -1是素数，则2^p-1^ （2^p^ -1）是完全数
==欧拉完全数定理==：如果n是偶完全数，则n形如n=2^p-1^ （2^p^ -1），其中2^p^ -1是梅森素数
σ（n）=n的所有因数之和
如果gcd（m，n）=1，则σ(mn)=σ(m) * σ(n)
判断m是否是素数：(不严谨)
取小于m的数a，求gcd（m，a）；如果大于1，则m不是素数；
如果gcd（m，a）=1，求a^m-1^（mod m），如果不是1，则不是素数；是1强烈表明是素数。
==存在数m满足对所有的a，gcd（m，a）=1，a^m-1^ ≡1（mod m）.这样的数称为卡米歇尔数==
第19章 素性测试与卡米歇尔数
==费马小定理==改版：p是素数，则a^p^ ≡ a（mod p）
2^m^ ≡ 2（mod m）是 m是素数的必要条件
第20章 模p平方剩余
==QR 二次剩余==：与一个数模p同余的不是p的倍数的数称为模p的二次剩余（平方剩余）
NR 二次非剩余
模7的QR有 1 2 4；NR有3 5 6
==QR* QR=QR;QR* NR= NR; NR* NR= QR==
==欧拉准则==：设p为奇素数，则a^(p-1)/2^ ≡ (a/p)(mod p)
(a/p)勒让德符号，a是p的QR则为1，a是p的NR则为-1
==二次互反律==：设p为奇素数，则
p≡1（mod 4）时，-1是模p的二次剩余；
p≡3（mod 4）时，-1是模p的二次非剩余；
p≡1或7（mod 8）时，2是模p的二次非剩余；
p≡3或5（mod 8）时，2是模p的二次非剩余；
p≡1（mod 4）或q≡1（mod 4）时，（p/q）=(q/p)；
p≡3（mod 4）且q≡3（mod 4）时，（p/q）=-(q/p)。
第27章 欧拉Φ函数与因数和
==欧拉Φ函数求和公式==：设d1，d2……dr是n的因数，则
Φ(d1)+Φ(d2)+……+Φ(dr) = n。
第28章 幂模p与原根
ep（a）=（使得a^e^ ≡1（mod p）的最小指数e≥1）
