leetcode 面试经典 150 题(8/150) 122.买卖股票的最佳时机II

题目描述

给定一个整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。

在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候 最多 只能持有 一股 股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。

返回：你能获得的 最大 利润。

示例 1：

输入：prices = [7,1,5,3,6,4]
输出：7
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4。
随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6 - 3 = 3。
最大总利润为 4 + 3 = 7 。

示例 2：

输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4。
最大总利润为 4 。

示例 3：

输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 交易无法获得正利润，所以不参与交易可以获得最大利润，最大利润为 0。

提示：

• 1 <= prices.length <= 3 * 10^4
• 0 <= prices[i] <= 10^4

算法思路

贪心算法：通过捕捉所有相邻上涨的利润，累加得到最大利润。

核心思想

• 利润来源：股票的利润来自于价格的上涨。如果价格连续上涨，可以通过多次买卖获得更多利润。
• 贪心策略：只要今天的价格比昨天高，就计算利润并累加。

具体步骤

1. 初始化利润：profit = 0。
2. 遍历数组：
   • 从第二天开始，计算当前价格与前一天的差值 tmp = prices[i] - prices[i-1]。
   • 如果 tmp > 0，说明价格上涨，将利润累加到 profit 中。
3. 返回结果：最终 profit 即为最大利润。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，只需遍历一次数组。
• 空间复杂度：O(1)，仅使用常量空间。

代码实现

func maxProfit(prices []int) int {
    profit := 0 // 初始化利润为 0
    // 从第二天开始遍历股票价格数组
    for i := 1; i < len(prices); i++ {
        tmp := prices[i] - prices[i-1] // 计算当天的价格与前一天的价格差
        if tmp > 0 {                   // 如果价格差大于 0，说明股价上涨，可以盈利
            profit += tmp // 将盈利累加到总利润中
        }
    }
    return profit // 返回总利润
}

关键点总结

1. 简化思考： 不需要考虑复杂的具体买卖时机，只需要关注相邻两天的价格变化。将总利润分解为每天的利润之和，只要价格上涨就累加利润。
2. 贪心策略：最大化每一次小的盈利机会，累积起来就是总体的最大利润。
3. 边界处理：如果数组为空或只有一个元素，直接返回 0。

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简化理解的相关证明

假设价格从 A 天到 D 天，价格分别为 $P_A, P_B, P_C, P_D$，并且价格是逐步上涨的：
$P_A < P_B < P_C < P_D$。

传统理解的多天买卖

你可能认为最佳策略是在 A 天买入，然后在 D 天卖出，利润是：
$P_D - P_A$

相邻两天买卖的理解

我们的算法会计算：

• 第一天到第二天的盈利：$(P_B - P_A)$
• 第二天到第三天的盈利：$(P_C - P_B)$
• 第三天到第四天的盈利：$(P_D - P_C)$

将这些盈利加起来： $(P_B - P_A) + (P_C - P_B) + (P_D - P_C) = P_D - P_A$

结果

你会发现，结果是一样的，总的利润仍然是最终价格减去最初价格。
只是我们的算法把这个总利润分解成了每天的盈利之和。

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示例解析

以 prices = [7,1,5,3,6,4] 为例：

1. 初始化： profit = 0
2. 遍历过程：
   • i = 1, prices[1] = 1, prices[0] = 7: tmp = 1 - 7 = -6。 tmp <= 0，profit 不变。
   • i = 2, prices[2] = 5, prices[1] = 1: tmp = 5 - 1 = 4。 tmp > 0，profit = 0 + 4 = 4。
   • i = 3, prices[3] = 3, prices[2] = 5: tmp = 3 - 5 = -2。 tmp <= 0，profit 不变。
   • i = 4, prices[4] = 6, prices[3] = 3: tmp = 6 - 3 = 3。 tmp > 0，profit = 4 + 3 = 7。
   • i = 5, prices[5] = 4, prices[4] = 6: tmp = 4 - 6 = -2。 tmp <= 0，profit 不变。
3. 最终结果： profit = 7

通过这种分解，我们不仅简化了问题，还确保了利润的最大化。