Raney 引理

1. Raney 引理

Raney 引理：对于整数数列 $a_1, a_2, \ldots, a_n$，如果满足 $\displaystyle \sum_{i = 1} ^ n a_i = 1$，则 $a$ 的所有循环位移中，恰有一个满足所有前缀和都是正整数。

证明：令 $\displaystyle S_i = \sum_{j = 1} ^ i a_j$，则 $S_n = 1$，假如令 $i$ 作为循环位移后的开头，则前缀和序列为 $S_i - S_{i - 1}, S_{i + 1} - S_{i - 1}, \ldots, S_n - S_{i - 1}, S_n - S_{i - 1} + S_1, \ldots, S_n - S_{i - 1} + S_{i - 2}, S_n$，容易发现前缀和序列为 $S_i, \ldots, S_n$ 减去 $S_{i - 1}$，以及 $1 + S_1, \ldots, 1 + S_{i - 1}$ 减去 $S_{i - 1}$，需要令前缀和序列为正整数，只能取 $S_{i - 1}$ 最小的中 $i$ 最大的，否则易证前缀和序列中会出现 $\le 0$ 的数。

2. Catalan 数

令 $H_n$ 表示卡特兰数第 $n$ 项，则 $H_n$ 等于长度为 $2n$ 的合法括号串数量。

下面尝试利用 Raney 引理得到 $H_n$ 的通项公式。

将左括号视为 $1$，右括号视为 $-1$，则合法括号序列要求前缀和非负。在开头加一个左括号，这样数列的和为 $1$，并且要求前缀和为正，满足了 Raney 引理的使用条件。

这样数列的总方案数为 $\dbinom{2n + 1}{n}$，$H_n = \dfrac{\dbinom{2n + 1}{n}}{2n + 1} = \dfrac{\dbinom{2n}{n}}{n + 1}$。

3. 例题

3.1. P6672 [清华集训2016] 你的生命已如风中残烛

考虑令 $w'_i=w_i-1$，则合法条件为 $w'_i$ 的前缀和 $\ge 0$，且 $\displaystyle \sum w'_i=0$，但是这次不能直接在前面加 $1$，因为不能保证最终 $1$ 位于开头。但是发现序列的最小值为 $-1$，可以尝试将序列取反后翻转，仍然要求前缀和 $\ge 0$，这次序列最大值为 $1$，于是直接加个 $1$ 就能满足 Raney 引理使用条件，并且能够保证序列第一个位置一定是 $1$。最终由于需要新加的 $1$ 在最开头，最后除以 $m-n+1$ 即可。

最终答案就是 $\dfrac{\dfrac{(m+1)!}{m+1}}{m-n+1}=\dfrac{m!}{m-n+1}$。