Bostan-mori 算法 & LSB-first 算法

1. Bostan-mori 算法

可以 $\Theta(\mathsf{M}(L) \log n)$ 求 $\displaystyle[x^n]\frac{F(x)}{G(x)}$，其中 $F(x)$ 和 $G(x)$ 都是 $\Theta(L)$ 次多项式。

如果 $n=0$，那么 $\displaystyle[x^0]\frac{F(x)}{G(x)}=\frac{[x^0]F(x)}{[x^0]G(x)}$，可以直接计算。

否则 $\displaystyle\frac{F(x)}{G(x)}=\frac{F(x)G(-x)}{G(x)G(-x)}$，令 $H(x)=G(x)G(-x)$，则 $H(x)=H(-x)$，所以 $H(x)$ 奇数项全为 $0$。

令 $G'(x^2)=H(x), F_0(x^2)+F_1(x^2)x=F(x)$。若 $n$ 为奇数，$\displaystyle[x^n]\frac{F(x)}{G(x)}=[x^{(n-1)/2}]\frac{F_1(x)}{G(x)}$；若 $n$ 为偶数，$\displaystyle[x^n]\frac{F(x)}{G(x)}=[x^{n/2}]\frac{F_0(x)}{G(x)}$。

只需要 $\Theta(\log n)$ 次多项式乘法即可。

2. LSB-first 算法

2.1. P4723 【模板】常系数齐次线性递推

给定 $a_0, a_1, \ldots, a_{k-1}$，再给定 $f_1, f_2, \ldots, f_k$，已知序列 $a$ 满足 $\displaystyle a_i = \sum_{j = 1}^k a_{i-j}\times f_j$，求 $a_n \bmod 998244353$ 的值。

满足 $n = 10 ^ 9, k = 3.2\times 10^4$。

令 $\displaystyle G(x)=1-\sum_{i=1}^kf_ix^i,A(x)=\sum_{i\ge 0}a_ix^i$，存在 $k-1$ 次多形式 $F(x)=\displaystyle \sum_{i=0}^{k-1} \left(a_i-\sum_{j=0}^{i-1}a_j\cdot f_{i-j}\right)x^i$，使得 $\displaystyle A(x)=\frac{F(x)}{G(x)}$，只需要求出 $F(x)$ 就能用 Bostan-mori 算法求出答案。

而 $\displaystyle F(x)=A(x)\cdot G(x)$，已知 $A(x)$ 与 $G(x)$ 在模 $x^k$ 下的结果，于是可以直接卷积。

时间复杂度 $\Theta(\mathsf{M}(k) \log n)$。