逻辑回归（Logistic Regression）及其在推荐系统中作用逻辑斯蒂回归及其在推荐系统中的应用逻辑斯蒂回归（

逻辑斯蒂回归及其在推荐系统中的应用

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逻辑斯蒂回归（Logistic Regression, LR）是一种广泛应用于分类问题的统计学方法。与线性回归不同，逻辑斯蒂回归用于处理二分类问题，预测某一事件发生的概率。其主要优势在于能够提供概率输出，且具有较好的计算效率。近年来，随着大数据和机器学习技术的快速发展，逻辑斯蒂回归逐渐在推荐系统中展现出重要的应用价值，尤其在用户行为预测和个性化推荐方面。

1. 推荐系统中逻辑回归的核心思想

协同过滤和矩阵分解主要依据用户与物品之间的相似度来进行推荐，而逻辑回归则独辟蹊径，将推荐问题转化为一个分类问题。它通过预测用户对物品产生正反馈（如点击、购买、观看等）的概率，对物品进行排序，从而生成推荐列表。本质上，逻辑回归是将推荐问题转化为点击率（CTR，Click-Through Rate）预估问题，通过对用户在特定情境下与物品交互可能性的预测，实现精准推荐。

2. 推荐过程

在协同过滤中，推荐系统通过分析用户历史行为（如点击、浏览、购买等）来预测用户可能感兴趣的物品。逻辑斯蒂回归通过分析用户与物品之间的交互特征，能够有效地判断用户是否会对某个物品产生兴趣。

例如，假设我们有以下特征：

用户的年龄、性别等人口统计信息；
用户历史行为，如过去购买过的商品类别；
物品的特征，如价格、品牌、评分等。

逻辑斯蒂回归可以利用这些特征建立一个分类模型，预测用户对特定商品的点击概率或购买概率。通过训练逻辑斯蒂回归模型，我们能够输出用户与物品的匹配度，从而生成个性化推荐列表。

3. 评估推荐效果

推荐系统的效果评估通常依赖于一些常见的度量标准，如精确度（Precision）、召回率（Recall）、F1值以及ROC曲线等。逻辑斯蒂回归可以通过输出概率值来生成推荐的排序，并与真实标签进行对比，从而评估推荐的效果。

例如，假设用户是否点击某个推荐物品作为目标变量，逻辑斯蒂回归可以根据推荐的概率值来排序推荐物品。通过与实际行为数据对比，计算精确度、召回率等指标，进而评估推荐系统的性能。

4. 逻辑回归的数学模型

4.1 输入与加权求和

输入与加权求和：将特征向量 $x = （x_1、x_2...x_n）$ 作为模型的输入，为每个特征赋予相应的权重 $(w_1,w_2,..., w_{n+1})$ ，通过加权求和得到 $x^Tw$ ，以此来表示各特征在模型中的重要性差异。
sigmoid 函数映射：将 $x^Tw$ 输入 sigmoid 函数，其数学表达式为。sigmoid 函数能够将输入值映射到 0~1 的区间，正好符合点击率的物理意义，即预测用户点击物品的概率。因此，逻辑回归模型的最终输出为，其中 b 为偏置项。

4.2 Sigmoid 函数映射

将 $( x^T w )$ 输入 Sigmoid 函数，其数学表达式为：

f(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}

Sigmoid 函数能够将输入值映射到 $( 0 \sim 1 )$ 的区间，正好符合点击率的物理意义，即预测用户点击物品的概率。因此，逻辑回归模型的最终输出为：

f(x) = \frac{1}{1 + e^{-(w \cdot x + b)}}

其中，( b ) 为偏置项。

5. 逻辑回归模型的训练方法

逻辑回归模型的训练方法众多，其中梯度下降法是应用最为广泛的一种。梯度下降法是一种一阶最优化算法，其核心思想是沿着函数当前点对应梯度的反方向，以规定的步长进行迭代搜索，从而找到函数的局部极小值。

5.1 确定目标函数

在使用梯度下降法来优化逻辑回归模型时，第一步是明确逻辑回归的目标函数。根据上述公式，逻辑回归的数学形式为 $f_w(x)$ 。对于一个输入样本 $x$ ，其预测结果可以是正样本（类别 1）或负样本（类别 0），对应的概率分别为：

\begin{cases} P(y = 1 | x; w) = f_w(x) \\ P(y = 0 | x; w) = 1 - f_w(x) \end{cases}

将其联合起来，得到数据点的条件概率表达式：

p(y | x; w) = (f_w(x))^y(1 - f_w(x))^{1-y}

根据极大似然估计的原理，逻辑回归的目标是最大化样本数据的似然性。通过对样本数据的分析，我们可以得到逻辑回归的目标函数为：

L(w) = \prod_{i=1}^{m} P(y_i | x_i; w)

其中 $( P(y|x; w) )$ 表示在给定特征 $x$ 和参数 $w$ 的情况下，样本属于类别 $y$ 的概率。

5.2 目标函数转换

由于目标函数是连乘的形式，不便于求导，因此我们对其两侧取对数，并乘以系数 $-\frac{1}{m}$ ，将求最大值的问题转化为求最小值的问题。经过转换后，目标函数变为：

\begin{aligned} J(w) & = -\frac{1}{m}l(w) = -\frac{1}{m}L(w) \\ &=-\frac{1}{m}(\sum_{i=1}^{m}(y^ilogf_w(x^i) + (1 -y^i)log(1- f_w(x^i))) \end{aligned}

其中m是样本的数量
$f_w(x^i)$ 是逻辑回归的预测值，通常通过sigmoid函数表示
$y^i$ 是第i个样本的标签

5.3 求偏导与梯度下降

对目标函数 $J(w)$ 中的每个参数求偏导，得到梯度方向。例如，对参数 $w_j$ 求偏导的结果为：

\frac{\partial J(w)}{\partial w_j} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \left( f_w(x^{(i)}) - y^{(i)} \right) x_j^{(i)}

$y^{(i)}$ 是第 i 个样本的标签。
公式中的 $w_j$ 是逻辑回归模型的参数， $x_j^{(i)}$ 是样本i的第 j 个特征。

损失函数对偏置 b 的偏导数计算如下：

\frac{\partial L(w, b)}{\partial b} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \left( f_w(x^{(i)}) - y^{(i)} \right)

$f_w(x^{(i)})$ 是第 i 个样本的预测值，计算公式为：
$y^{(i)}$ 是第 i 个样本的真实标签。

在得到梯度之后，我们利用梯度下降法来更新模型参数。梯度下降的更新规则为：

w_j = w_j - \alpha \cdot \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \left( h_w(x^{(i)}) - y^{(i)} \right) x_j^{(i)}\\ b = b - \alpha \cdot \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \left( f_w(x^{(i)}) - y^{(i)} \right)

通过以上步骤，我们就完成了逻辑回归模型参数更新的推导过程。至此，完成了逻辑回归模型的更新推导。

6. 代码实现

def sigmoid(w,x,b):
    """
    计算sigmoid函数
    Args:
      w (ndarray): 权重参数,n*1
      x (ndarray): 样本矩阵,m*n
      b (scalar): 偏置项
    Returns:
      p (ndarray): sigmoid计算结果,m*1
    """
    
    z = np.dot(x,w) + b
    return 1 / (1 + np.exp(-z))

def compute_cost(X, y, w, b, fw = None):
    """
    计算损失函数
    Args:
      X (ndarray): 样本矩阵,m*n
      y (ndarray): 标签矩阵,m*1
      w (ndarray): 权重参数,n*1
      b (scalar): 偏置项
    Returns:
      cost (scalar): 损失函数值
    """
    m = X.shape[0]
    #同样使用矩阵计算

    #如果已经计算了fw,就不用再计算一遍了sigmoid
    if fw is not None :
      cost = -(1/m) *  np.sum((y * np.log(fw) + (1 - y) * np.log(1 - fw)))
    else:
      cost = -(1/m) *  np.sum((y * np.log(sigmoid(w, X, b)) + (1 - y) * np.log(1 - sigmoid(w, X, b))))
    return cost

def logicstic_regression(X, y, learning_rate = 0.01, num_iterations = 1000):
    """
    X: input data
    y: output data
    learning_rate: learning rate for gradient descent
    num_iterations: number of iterations for gradient descent
    return: weights and bias
    """
    
    rows,cols = X.shape
    w = np.random.rand(cols,1)
    b = 0 
    
    pbar = tqdm(range(num_iterations),desc ='Logicstic Regression',ncols = 100,unit = 'it')

    for i in pbar:
        predictions = sigmoid(w,X,b).astype(np.float32)
        cost = compute_cost(X, y, w, b,fw = predictions)
        
        # 注意这里用矩阵计算,纬度是m*1
        error = predictions - y 
        dw = (1/rows) * np.dot(X.T,error) 
        db = (1/rows) * np.sum(error)

        w -= learning_rate * dw
        b -= learning_rate * db
        
        pbar.set_postfix({"cost": cost})

    return w, b

7. 逻辑斯蒂回归的优势

高效性 逻辑斯蒂回归的计算复杂度相对较低，适合大规模数据的处理，尤其在实时推荐系统中能够提供较快的预测结果。
可解释性强 与深度学习模型不同，逻辑斯蒂回归具有较好的可解释性。其参数（即权重）可以直接反映每个特征对预测结果的影响，为推荐系统的调试和优化提供了便利。
概率输出 逻辑斯蒂回归提供的是一个概率值，可以根据实际需求调整推荐的阈值，生成不同的推荐列表。

8. 总结

逻辑回归模型凭借其对多特征的融合能力和成熟的训练方法，在推荐系统中发挥着重要作用。通过将推荐问题转化为分类问题，利用梯度下降法优化模型参数

9 Reference

王喆《深度学习推荐系统》

机器学习中的数学——激活函数（一）：Sigmoid函数

神经网络中的激活函数——Sigmoid函数