Brensenham直线绘制算法

如何在屏幕上绘制直线

问题定义：给到两个点$p_1(x_1, y_1)$，$p_2(x_2, y_2)$；请在屏幕像素空间绘制一条直线。

最简单的方案

根据两点坐标$p_1(x_1, y_1)$，$p_2(x_2, y_2)$，可求出如下直线方程：

根据直线方程，可以得到直线绘制算法如下：

x = x1
while(x < x2) {
    y = (int)(kx + b);
    drawPoint(x, y);
    x++;
}

缺点:

在本算法中，有一次k * x这样的浮点数乘法运算以及一次+b这样的浮点数加法运算。

浮点数运算效率较低，可否找到一种算法，只运用整数的四则运算呢?

Brensenham直线绘制算法

本算法整体的计算过程中，只使用了整数型数据进行运算与决策，省略了浮点数运算，从而提高了绘制效率

我们先考虑最简单情况：

1. $x_1 < x_2$
2. 二者构成的直线斜率: $0 < k < 1$

如图红色监听所示：

该直线方程为：

---

假设当前直线已经通过点$(x_i, y_i)$，那么当x方向前进+1时 (即$x_{i+1} = x_i+1$)，如何确定$y_{i+1}$的值？

$d_0 = (y_i + 1) - (k*(x_i + 1) + b) \\ d_1 = (k*(x_i + 1) + b) -y_i$

$d_1 - d_0 = k*(x_i + 1) + b -y_i - y_i - 1 + k*(x_i + 1) + b \\ =2k*(x_i + 1) -2y_i -1 +2b$

通过判断 $d_1 - d_0$ 的正负值，就能确定$y_{i+1}$取哪一像素点。

由已知条件

令 $p_i = \Delta{x} * (d_1 - d_0)$，可得：

此时就可以通过 $p_i$ 的正负判断选择那个像素。

其中$(2\Delta{y} + 2\Delta{x} * b - \Delta{x})$ 可以提前求得。

迭代模型

我们已经知道了任何一个p的表达式，那么是否可以利用迭代法来计算每个接下来的p呢?

考察第一个p值，带入$x_1$，$y_1 = k * x_1 + b$

$p_1 = 2\Delta{y} * x_1 - 2\Delta{x} * (\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}} * x_1 + b) + (2\Delta{y} + 2\Delta{x} * b - \Delta{x}) \\ p_1 = 2\Delta{y} - \Delta{x}$

得到直线绘制算法如下：

x = x1, y = y1;
p = 2Δy - Δx;
while(x < x2) {
    drawPoint(x, y);
    x++;
    if(p >= 0) {
        y++;
        p = p - 2Δx;
    }
    p = p + 2Δy;
}

注意：本方法只对满足前置条件的直线生效：

1. $x_1 < x_2$
2. 二者构成的直线斜率: $0 < k < 1$