1.2.1 数学归纳法
令P(n)是关于整数n的某个命题，假定我们需要证明P(n)对于所有正整数n为真，一种重要的做法是：
(a) 证明P(1)为真；
(b) 证明“如果P(1),P(2),...,P(n)全部为真，那么P(n+1)也为真”，这个证明应对任意正整数n成立。
数学归纳法的算法形式
算法I（构造证明）. 给定一个正整数n，这个算法将产生P(n)为真的证明。
I1. [证明P(1).]置 k ← 1，证明P(1)为真
I2.[k=n?] 如果k=n，算法终止，所需的证明已经输出。
I3.[证明P(k+1).] 证明：如果P(1),...,P(k)全部为真，那么P(k+1)为真
I4.[增加k.]k增加1，转到步骤I2
数学归纳法的应用
通过归纳法证明算法E对所有m和n都能得到正确答案，即能找到最大公约数。
算法E（推广的欧几里得算法）.给定两个正整数m和n，计算它们的最大公因数d，并计算两个未必为正数的整数a和b，使得am+bn=d。
E1.[初始化.] 置a′←b←1,a←b′←0,c←m,d←n.
E2.[除法.]令q和r分别是用d除c所得的商和余数.（于是有c=qd+r和0≤r<d.）
E3.[余数为0?]如果r=0，算法终止，此时有am+bn=d，正如所求。
E4.[循环.]置c←d,d←r,t←a′,a′←a,a←t−qa,t←b′,b′←b,b←t−qb，然后返回E2.
证明：
当n=1时，算法执行到E2，此时c=m,d=1，那么q=m,r=0；随后算法执行到E3时终止。算法有效。
当n>1时，且m是n的倍数。此时与n=1时类似，其实n=1是此种情形的特例。算法有效。
按归纳法可以假设，当1≤k<n时，d的最终值是m和k的最大公约数，算法均有效。
当n>1时，且m不是n的倍数。算法第一次执行后:c←n，d←r，由于r<n，根据归纳假设：d的最终值是n和r的最大公约数。
又根据1.1节给出的结论（讨论算法的5个特征中的“输出”部分给出的结论），数偶{m,n}和{n,r}具有相同的公因数，特别地，它们具有相同的最大公因数。
因此，d也是m和n的最大公约数，此时算法有效。
关于E4中a、a′、b和b′更新规则的说明：
在计算过程中，c=qd+r，a′和b′分别为前一轮的a和b，于是：a′m+b′n=c，am+bn=d
由c=qd+r可得r=c−qd，由于c=a′m+b′n，d=am+bn，带入r=c−qd可得:
r=(a′m+b′n)−q(am+bn)
r=(a′−qa)m+(b′−qb)n
