题目
在数组中的两个数字，如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组，求出这个数组中的逆序对的总数。
示例 1:
输入：[7, 5, 6, 4]
输出：5
示例 2:
输入：[10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1]
输出：45
暴力法
暴力法的基本思想是：通过两层循环来遍历数组中的每一个元素，并与它后面的所有元素进行比较；如果前面的数大于后面的数，则构成一个逆序对，并增加计数器。使用暴力法求解本题的主要步骤如下。
1、初始化一个计数器count为0，用于记录逆序对的数量。
2、遍历数组中的每一个元素i，对于每一个i，再从i+1到数组的末尾进行遍历，检查是否存在比i更大的元素。
3、如果存在，则将计数器count加一。
4、当所有的元素都被检查过后，返回计数器count的值。
根据上面的算法步骤，我们可以得出下面的示例代码。
def calc_inversion_pairs_by_brute_force(nums):
count = 0
# 遍历数组中的每一个元素
for i in range(len(nums)):
# 再遍历该元素之后的所有元素
for j in range(i + 1, len(nums)):
# 如果前一个元素大于后一个元素，则构成逆序对
if nums[i] > nums[j]:
count += 1
return count
nums1 = [7, 5, 6, 4]
print(calc_inversion_pairs_by_brute_force(nums1))
nums2 = [10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1]
print(calc_inversion_pairs_by_brute_force(nums2))
归并排序法
归并排序法的基本思想是：采用分治策略，也就是将数组分成两半，分别计算每半部分的逆序对数量，然后再计算跨这两半部分的逆序对数量。使用归并排序法求解本题的主要步骤如下。
1、将数组分成两半，递归地计算左边一半的逆序对数量和右边一半的逆序对数量。
2、合并两个已排序的半边数组时，统计跨两边的逆序对数量。
3、返回总的逆序对数量。
根据上面的算法步骤，我们可以得出下面的示例代码。
def merge_sort_array(nums, temp, left, right):
# 当数组只有一个元素时，不需要排序
if left == right:
return 0
# 分割数组
mid = (left + right) // 2
inversions = merge_sort_array(nums, temp, left, mid)
inversions += merge_sort_array(nums, temp, mid + 1, right)
# 合并两个有序数组并计算逆序对
i, j, pos = left, mid + 1, left
while i <= mid and j <= right:
if nums[i] <= nums[j]:
temp[pos] = nums[i]
i += 1
else:
temp[pos] = nums[j]
j += 1
# 计算逆序对数量
inversions += (mid - i + 1)
pos += 1
# 处理剩余元素
while i <= mid:
temp[pos] = nums[i]
i += 1
pos += 1
while j <= right:
temp[pos] = nums[j]
j += 1
pos += 1
# 将排序后的数组复制回原数组
for i in range(left, right + 1):
nums[i] = temp[i]
return inversions
def calc_inversion_pairs_by_merge_sort(nums):
# 创建临时数组，用于合并
temp = [0] * len(nums)
return merge_sort_array(nums, temp, 0, len(nums) - 1)
nums1 = [7, 5, 6, 4]
print(calc_inversion_pairs_by_merge_sort(nums1))
nums2 = [10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1]
print(calc_inversion_pairs_by_merge_sort(nums2))
树状数组法
树状数组（Binary Indexed Tree）是一种支持在一维数组上快速查询和更新前缀和的数据结构。在求解本题时，我们可以利用树状数组来维护一个动态的频率表，以此来统计逆序对的数量。使用树状数组法求解本题的主要步骤如下。
1、对数组进行预处理，将数组中的元素映射到一个从1到N的连续整数区间内，N是数组中不同元素的数量。
2、初始化一个树状数组。
3、遍历数组，对于每一个元素x，首先查询在1到x-1区间内的所有元素中小于等于 x 的元素数量，这个数量就是逆序对的数量。
4、更新树状数组，表示已经处理了这个元素。
5、累加逆序对的数量。
根据上面的算法步骤，我们可以得出下面的示例代码。
class BinaryIndexedTree:
def __init__(self, size):
self.size = size
self.tree = [0] * (size + 1)
def low_bit(self, i):
return i & (-i)
def update(self, index, delta):
while index <= self.size:
self.tree[index] += delta
index += self.low_bit(index)
def query(self, index):
result = 0
while index > 0:
result += self.tree[index]
index -= self.low_bit(index)
return result
def calc_inversion_pairs_by_bit(nums):
# 映射数组元素到连续整数区间
unique_nums = sorted(set(nums))
num_to_index = {num: idx + 1 for idx, num in enumerate(unique_nums)}
count = 0
# 初始化树状数组
bit = BinaryIndexedTree(len(num_to_index))
# 遍历数组
for num in reversed(nums):
# 将当前元素映射到对应的索引
index = num_to_index[num]
# 查询逆序对数量
count += bit.query(index - 1)
# 更新树状数组
bit.update(index, 1)
return count
nums1 = [7, 5, 6, 4]
print(calc_inversion_pairs_by_bit(nums1))
nums2 = [10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1]
print(calc_inversion_pairs_by_bit(nums2))
总结
显而易见，暴力法的时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(1)。其中，n是数组的长度。其优点是实现简单，易于理解。但缺点也比较明显：效率低下，不适合处理大数据集。
归并排序法的时间复杂度为O(n*logn)，空间复杂度为O(n)，因为需要一个与原始数组相同大小的辅助数组用于合并操作。归并排序法是稳定的排序算法，适用于所有类型的输入。
树状数组法的时间复杂度和空间复杂度与归并排序法相同，但其实现比归并排序法简单。缺点是需要对数组中的元素进行预处理，将其映射到连续的整数区间。
