3.2.4 Conditional distribution 公式3.59

公式 (3.59) 的推导基于条件高斯分布的性质和前面的推导结果。以下是详细的解释：

1. 条件高斯分布的均值：

   • 在条件高斯分布 $p(\mathbf{x}_{a}|\mathbf{x}_{b})$ 中，均值 $\mu_{a|b}$ 和协方差 $\Sigma_{a|b}$ 是关键的参数。
   • 我们已经知道协方差 $\Sigma_{a|b}$ 是 $\Lambda_{aa}$ 的逆矩阵，即 $\Sigma_{a|b} = \Lambda_{aa}^{-1}$（公式 3.57）。

2. 线性项的系数：

   • 在公式 (3.58) 中，线性项为：
     $$\mathbf{x}_{a}^{\mathrm{T}}\{\Lambda_{aa}\mu_{a}-\Lambda_{ab}(\mathbf{x}_{b}- \mu_{b})\}$$
   • 根据一般形式 (3.55)，线性项的系数应等于 $\Sigma_{a|b}^{-1}\mu_{a|b}$。

3. 求解均值 $\mu_{a|b}$：

   • 由于 $\Sigma_{a|b} = \Lambda_{aa}^{-1}$，我们有 $\Sigma_{a|b}^{-1} = \Lambda_{aa}$。
   • 因此，线性项的系数可以表示为：
     $$\Lambda_{aa} \mu_{a|b} = \Lambda_{aa}\mu_{a} - \Lambda_{ab}(\mathbf{x}_{b} - \mu_{b})$$
   • 通过解这个方程，我们可以得到均值 $\mu_{a|b}$：
     $$\mu_{a|b} = \mu_{a} - \Lambda_{aa}^{-1}\Lambda_{ab}(\mathbf{x}_{b} - \mu_{b})$$

4. 最终结果：

   • 这就是公式 (3.59) 的由来：
     $$\mu_{a|b} = \mu_{a} - \Lambda_{aa}^{-1}\Lambda_{ab}(\mathbf{x}_{b} - \mu_{b})$$

总结来说，公式 (3.59) 是通过将线性项的系数与条件高斯分布的均值关系相结合，并利用协方差矩阵的逆矩阵性质推导出来的。