线性DP
一、动态规划基础概念
动态规划是一种用于解决优化问题的算法策略。它的核心思想是将一个复杂的问题分解为一系列相互关联的子问题，通过求解子问题，并记录子问题的解，避免重复计算，最终得到原问题的最优解。其主要利用了问题的最优子结构性质和重叠子问题性质。
- 最优子结构性质：一个问题的最优解包含了子问题的最优解。例如，在计算斐波那契数列时，第 n 个斐波那契数可以通过前两个斐波那契数（子问题）的最优解（它们本身的值）相加得到。
- 重叠子问题性质：在解决问题过程中，会反复求解相同的子问题。以斐波那契数列为例，在计算第 5 个斐波那契数时，会多次计算第 3 个和第 4 个斐波那契数，这些子问题的计算是重复的。
二、线性 DP 的特点
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阶段划分呈线性结构
- 线性 DP 问题通常可以将求解过程按照一定的顺序划分为多个阶段，这些阶段是线性排列的。比如，在最长上升子序列问题中，我们可以按照序列的索引顺序，从第一个元素开始，依次考虑每个元素，这就形成了一个线性的阶段划分。
- 假设我们有一个序列 a = [1,3,2,4]，在求最长上升子序列时，我们可以先考虑只有第一个元素 1 的情况（第一阶段），然后加入第二个元素 3 看是否能构成更长的上升子序列（第二阶段），以此类推。
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状态转移依赖线性关系
- 状态通常是基于前面的一个或几个状态进行转移的。以背包问题为例（虽然它是一种特殊的线性 DP），在 0 - 1 背包问题中，设 dp [i][j] 表示前 i 个物品放入容量为 j 的背包中所能获得的最大价值。
- 状态转移方程 dp [i][j] = max (dp [i - 1][j], dp [i - 1][j - w [i]] + v [i])（其中 w [i] 是第 i 个物品的重量，v [i] 是第 i 个物品的价值）体现了这种线性依赖关系。当前状态 dp [i][j] 的计算依赖于前一个物品（i - 1）对应的状态 dp [i - 1][j] 和 dp [i - 1][j - w [i]]。
常见的线性DP问题
LCS问题：
最长公共子序列
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。
一个字符串的 子序列 **是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
- 例如，
"ace"是"abcde"的子序列，但"aec"不是"abcde"的子序列。
两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。
首先 默认情况下，子数组/字串 是连续的，子序列可以是不连续的
分析：
设长度为n和m
启发思路：
本质上就是选或者不选
特殊的： 考虑最后一对字母，分别为x，y 就有四种情况，都不选，选一个，都选，都不选的话，就从dfs(m,n)的原问题转换成dfs(m-1,n-1)的子问题了，其他的一样 一般化： 考虑s[i]和t[j]选或不选 得到下列一些子问题了
子问题：
s的前i个字母和t的前j个字母的LCS长度
下一个子问题：
s的前i-1个字母和t的前j-1个字母的LCS长度
s的前i-1个字母和t的前j个字母的LCS长度
s的前i个字母和t的前j-1个字母的LCS长度
注: 都不选与都选的情况是一样的，只有s[i]==t[j]的时候才能都选，这种情况下都选肯定比都不选要好，因为要选最长LCS长度嘛。
最终得到下面的一个式子：
dfs(i,j)=max(dfs(i-1,j),dfs(i,j-1),dfs(i-1,j-1)+(s[i]==t[j])
注：
在s[i]==t[j]时，需要调用dfs(i-1,j)和dfs(i,j-1)吗？在在s[i]！=t[j]时要调用dfs(i-1,j-1)吗？
答案是不需要的：
1.设x=dfs(i-1,j-1) 假设dfs(i-1,j)更优，就说明>x+1，也就是大于x，但是后面的又是前面的子序列，是<=x的，就矛盾了，所以第一种情况不需要考虑。
2.假如说只选一个dfs(i-1,j) 再往后面推一次可能就是 dfs(i-1,j-1) 所以说dfs(i-1,j)是大于等于 dfs(i-1,j-1)，通俗一点， dfs(i-1,j-1)的结果已经在dfs(i-1,j)里了，所以我们不需要递归到这里
代码实现
class Solution:
def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:
n=len(text1)
m=len(text2)
@cache #记忆化搜索
def dfs(i,j):
if i<0 or j<0 :
return 0
if text1[i]==text2[j]:
return dfs(i-1,j-1)+1
return max(dfs(i-1,j),dfs(i,j-1))
return dfs(n-1,m-1)
就水一点叭，祝大家新的一年里步步高升！！
