实数轴上所有两两不相交的有限开区间组成的集合的基数为阿列夫零

首先，我们把这个问题写成一个定理。

定理： 实数轴上所有两两不相交的有限开区间组成的集合的势(基数)是$\aleph_0.$

为了证明这个定理，我想到实变函数中学习过的基数内容，我把写成下面的引理。

引理： 设集合$A$中元素都是直线上的开区间,满足条件:若开区间$K,J\in A$,$K≠J$, 则$K \cap J= \varnothing$.证明$A$是可数集或有限集.

proof: 作映射 $\phi:A\to\mathbb{Q}$.

设$K\in A$，由于$\mathbb{Q}$在直线上稠密，任取$r \in K \cap \mathbb{Q}$，定义：

$$\phi(K)=r.$$

由于任意$K,J \in A$，$K \neq J$，有$K\cap J=\varnothing .$ 因此$\phi$是$A$到$\mathbb{Q}$内的单射，于是$A \sim \phi(A)\subseteq \mathbb{Q}$，由伯恩斯坦定理，有$|A|\le |\mathbb{Q}|=\aleph_0$，即$A$是可数集或有限集。

定理中要求是有限开区间，所以我们再加以说明。

Proof： 设集合$A$中元素都是直线上的开区间，由于是实数轴上两两不相交的有限开区间，任意开区间$K$可以表示为$(a_n,a_{n+\frac{1}{2}}),\forall n \in Z$，其中$\,\,a_{n},a_{n+\frac{1}{2}}\in \mathbb{R}.$

作映射$\psi:K\to \mathbb{Z}.\,\,$显然可知$\,\psi$是满射。

所以$\mathbb{Z} \subseteq \psi(A)$，由伯恩斯坦定理，有$|A|\ge |\mathbb{Z}|=\aleph_0$. 再根据引理，所以$|A|=\aleph_0.\,\,\Box$