236小U的数组权值计算 O(n) 做法

问题描述

小 R 定义一个数组的“权值”为相邻两数乘积为奇数的对数。给定一个整数 n，表示数组的长度，即需要求从 1 到 n 的所有排列的权值之和。每个排列包含从 1 到 n 的每个正整数且仅出现一次。由于结果可能非常大，答案需要对 $10^9 + 7$ 取模。

题解

1. 奇数对的选择：

   • 只有两个奇数的乘积为奇数
   • 在 1 到 n 的数中，奇数的个数为 $\lceil n/2 \rceil$。
   • 选择两个不同的奇数有 $\lceil n/2 \rceil \times (\lceil n/2 \rceil - 1)$ 种方法。

2. 位置的安排：

   • 一个奇数对可以出现在排列中的 n-1 个相邻位置中的任意一个位置。
   • 除去选定的两个奇数后，剩下的 n-2 个元素可以有$(n-2)!$种排列方式。

3. 总计：

   • 将以上部分相乘，得到总权值之和： a(n) = $\lceil n/2 \rceil \times (\lceil n/2 \rceil - 1) \times (n-1)!$

mod = int(1e9 + 7)
from math import ceil
def solution(n: int) -> int:
    res = ceil(n / 2) * ceil(n / 2 - 1)
    for i in range(1, n): res = (res * i) % mod
    return res


if __name__ == '__main__':
    print(solution(5) == 144)
    print(solution(3) == 4)
    print(solution(6) == 720)

复杂度分析： 时间复杂度：$O(n)$ 空间复杂度：$O(1)$