AVL树
10.1 基本概念 AVL树的复杂程度真是比二叉搜索树高了整整一个数量级——它的原理并不难弄懂，但要把它用代码实现出来还真的有点费脑筋。下面我们来看看：
10.1.1 AVL树是什么？ AVL树本质上还是一棵二叉搜索树（因此读者可以看到我后面的代码是继承自二叉搜索树的），它的特点是：
本身首先是一棵二叉搜索树。
带有平衡条件：每个结点的左右子树的高度之差的绝对值（平衡因子）最多为1。
例如：
5 5
/ \ / \
2 6 2 6
/ \ \ /
1 4 7 1 4
/ /
3 3
上图中，左边的是AVL树，而右边的不是。因为左边的树的每个结点的左右子树的高度之差的绝对值都最多为1，而右边的树由于结点6没有子树，导致根结点5的平衡因子为2。
10.1.2 为什么要用AVL树？ 有人也许要问：为什么要有AVL树呢？它有什么作用呢？
我们先来看看二叉搜索树吧（因为AVL树本质上是一棵二叉搜索树），假设有这么一种极端的情况：二叉搜索树的结点为1、2、3、4、5，也就是：
1
2
3
4
5
聪明的你是不是发现什么了呢？呵呵，显而易见——这棵二叉搜索树其实等同于一个链表了，也就是说，它在查找上的优势已经全无了——在这种情况下，查找一个结点的时间复杂度是O(N)！
好，那么假如是AVL树（别忘了AVL树还是二叉搜索树），则会是：
2
/
1 4
/
3 5
可以看出，AVL树的查找平均时间复杂度要比二叉搜索树低——它是O(logN)。也就是说，在大量的随机数据中AVL树的表现要好得多。
10.1.3 旋转 假设有一个结点的平衡因子为2（在AVL树中，最大就是2，因为结点是一个一个地插入到树中的，一旦出现不平衡的状态就会立即进行调整，因此平衡因子最大不可能超过2），那么就需要进行调整。由于任意一个结点最多只有两个儿子，所以当高度不平衡时，只可能是以下四种情况造成的：
对该结点的左儿子的左子树进行了一次插入。
对该结点的左儿子的右子树进行了一次插入。
对该结点的右儿子的左子树进行了一次插入。
对该结点的右儿子的右子树进行了一次插入。
情况1和4是关于该点的镜像对称，同样，情况2和3也是一对镜像对称。因此，理论上只有两种情况，当然了，从编程的角度来看还是四种情况。
第一种情况是插入发生在“外边”的情况（即左-左的情况或右-右的情况），该情况可以通过对树的一次单旋转来完成调整。第二种情况是插入发生在“内部”的情况（即左-右的情况或右-左的情况），该情况要通过稍微复杂些的双旋转来处理。
关于旋转的具体理论分析和例子请参阅教科书，我实在不想在这里重新打一次了……就此省略65535个字，原谅我吧，出来混，迟早要还的。
10.2 代码实现 二叉树的代码实现如下：
///
//
// FileName : avltree.h
// Version : 0.10
// Author : Luo Cong
// Date : 2005-1-20 17:04:31
// Comment :
//
///
#ifndef AVL_TREE_H #define AVL_TREE_H
#include "../../bstree/src/bstree.h"
template class CAVLTree : public CBSTree { private: CBTNode* Insert(const T &data, CBTNode *p);
public: CBTNode* SingleRotateWithLeft(CBTNode p); CBTNode DoubleRotateWithLeft(CBTNode p); CBTNode SingleRotateWithRight(CBTNode p); CBTNode DoubleRotateWithRight(CBTNode p); CBTNode Insert(const T &data); CBTNode* Delete(const T &data); };
template inline CBTNode* CAVLTree::SingleRotateWithLeft(CBTNode *p) { CBTNode *p2;
// rotate
p2 = p->left;
p->left = p2->right;
p2->right = p;
// update parent relationship
p2->parent = p->parent;
p->parent = p2;
if (p->left)
p->left->parent = p;
// update root node if necessary
if (p == m_pNodeRoot)
m_pNodeRoot = p2;
return p2; // New root
}
template inline CBTNode* CAVLTree::DoubleRotateWithLeft(CBTNode *p) { p->left = SingleRotateWithLeft(p->left); return SingleRotateWithLeft(p); }
template inline CBTNode* CAVLTree::SingleRotateWithRight(CBTNode *p) { CBTNode *p2;
// rotate
p2 = p->right;
p->right = p2->left;
p2->left = p;
// update parent relationship
p2->parent = p->parent;
p->parent = p2;
if (p->right)
p->right->parent = p;
// update root node if necessary
if (p == m_pNodeRoot)
m_pNodeRoot = p2;
return p2; // New root
}
template inline CBTNode* CAVLTree::DoubleRotateWithRight(CBTNode *p) { p->right = SingleRotateWithLeft(p->right); return SingleRotateWithRight(p); }
template inline CBTNode* CAVLTree::Insert(const T &data) { return Insert(data, m_pNodeRoot); }
template inline CBTNode* CAVLTree::Insert(const T &data, CBTNode *p) { if (NULL == p) { // Create and return a one-node tree p = new CBTNode; if (NULL == p) return NULL; else { p->data = data; p->left = NULL; p->right = NULL; if (NULL == m_pNodeRoot) { m_pNodeRoot = p; m_pNodeRoot->parent = NULL; } } } // left child else if (data < p->data) { p->left = Insert(data, p->left); if (p->left) p->left->parent = p;
if (2 == (GetDepth(p->left) - GetDepth(p->right)))
{
// left tree, need to do single rotation
if (data < p->left->data)
p = SingleRotateWithLeft(p);
// right tree, need to do double rotation
else
p = DoubleRotateWithLeft(p);
}
}
// right child
else if (data > p->data)
{
p->right = Insert(data, p->right);
if (p->right)
p->right->parent = p;
if (2 == (GetDepth(p->right) - GetDepth(p->left)))
{
// right tree, need to do single rotation
if (data > p->right->data)
p = SingleRotateWithRight(p);
// left tree, need to do double rotation
else
p = DoubleRotateWithRight(p);
}
}
// else data is in the tree already, we'll do nothing!
return p;
}
template inline CBTNode* CAVLTree::Delete(const T &data) { // not completed yet. return NULL; }
#endif // AVL_TREE_H 测试代码：
///
//
// FileName : avltree.cpp
// Version : 0.10
// Author : Luo Cong
// Date : 2005-1-20 17:06:50
// Comment :
//
///
#include "avltree.h"
int main() { CAVLTree avltree;
#ifdef _DEBUG _CrtSetDbgFlag(_CRTDBG_ALLOC_MEM_DF | _CRTDBG_LEAK_CHECK_DF); #endif
avltree.Insert(1);
avltree.Insert(2);
avltree.Insert(3);
avltree.Insert(4);
}
10.3 说明 我的AVL树是从二叉搜索树继承而来的（还记得我的二叉搜索树又是从二叉树继承来的吗？^^）。另外，由于水平的关系，我没有写出Delete()函数来，因此如果您使用了Delete()，那是不会有效果的。--b...
插入的核心思路是通过递归（又是递归！）找到合适的位置，插入新结点，然后看新结点是否平衡（平衡因子是否为2），如果不平衡的话，就分成两种大情况以及两种小情况：
在结点的左儿子(data < p->data)
在左儿子的左子树((data < p->data) AND (data < p->left->data))，“外边”，要做单旋转。
在左儿子的右子树((data < p->data) AND (data > p->left->data0))，“内部”，要做双旋转。
在结点的右儿子(data > p->data)
在右儿子的左子树((data > p->data) AND (data < p->right->data))，“内部”，要做双旋转。
在右儿子的右子树((data > p->data) AND (data > p->right->data))，“外边”，要做单旋转。
代码已经写得很清楚了，我就不多废话了，关键在于动手去调试，这样才能弄明白。值得说明的是，当进行了旋转之后，必定会有结点的“父结点”是需要更新的，例如：
2
/
1 4
/
3 5
6
上图是调整前的，下图是调整后的：
4
/ \
2 5
/ \
1 3 6
可以看出，根结点2不平衡，是由于它的右儿子的右子树插入了新的结点6造成的。因此，这属于“外边”的情况，要进行一次单旋转。于是我们就把结点4调整上来作为根结点，再把结点2作为4的左儿子，最后把结点2的右儿子修改为原来的结点4的左儿子。
调整后的parent指针变化规律如下：
调整前的右儿子（调整后它就变为父亲了）的parent指针应该指向调整前的父亲（调整后它就变成左儿子了）的parent指针。
调整前的父亲（调整后它就变成左儿子了）的parent指针应该指向调整前的右儿子（调整后它就变成父亲了）。
调整前的父亲的右儿子的parent指针应该指向调整前的右儿子的左儿子。
很难理解是吗？我来联系到上图说明：
调整前的右儿子是结点4，调整后，它的parent指针应该指向调整前它的父亲的parent指针，也就是NULL，因为调整前结点4的父亲是结点2，而结点2是根结点，其parent指针为NULL。
调整前的父亲是结点2，调整后，它的parent指针应该指向调整前的右儿子（结点4）。
调整前的父亲的右儿子（也就是调整后的结点2的右儿子）应该指向调整前的右儿子（结点4）的左儿子（结点3）。
这是SingleRotateWithRight()里面对parent指针的处理，SingleRotateWithLeft()里面的道理也是相通的，只是顺序有点不同。
呵呵，希望没把您弄晕。^_^
AVL树就讲到这里了，如果您有兴趣，可以把Delete()函数写完，并请给我一份以便我学习。 ————————————————
版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。
