149小A的移动点（图论 并查集）

问题描述

小 M 有n个点，每个点的坐标为 ($x_i$, $y_i$)。她可以从一个点出发，沿着坐标轴方向移动，直到到达另一个点。具体来说，可以从 (x1, y1) 直接移动到 (x2, y1) 或者 (x1, y2)，但无法直接移动到 (x2, y2)。为了确保任意两个点之间都可以通过这种路径互相到达，小 M 需要增加最少数量的新点。

题解

解题思路

这个问题可以转化为图论中的连通性问题。将每个点看作图中的一个节点，如果两个点在同一行或同一列，则它们之间有一条边相连。我们需要找到图中的连通分量数目，然后最少需要增加的点数就是连通分量数目减一。

具体步骤如下：

1. 并查集（Union-Find）：使用并查集数据结构来管理点的连接关系，方便快速合并和查找不同连通分量。
2. 建立行和列的映射：
   • 使用两个字典，row 和 col，分别存储每一行和每一列上的点的索引。
   • 遍历所有点，将具有相同x坐标的点加入同一行，具有相同y坐标的点加入同一列。
3. 合并连通分量：
   • 对于每一行中的所有点，依次将它们合并到第一点所在的连通分量。
   • 对于每一列中的所有点，依次将它们合并到第一点所在的连通分量。
4. 计算连通分量：
   • 最终，通过并查集找到所有点的根节点，统计不同的根节点数量，即为连通分量的数目。
5. 得出结果：
   • 最少需要增加的点数为连通分量数目减一。

代码实现

from collections import defaultdict

def solution(n: int, points: list) -> int:
    p = [i for i in range(n)]

    def find(x):
        if x != p[x]:
            p[x] = find(p[x])
        return p[x]

    def union(x, y):
        x, y = find(x), find(y)
        if x != y:
            p[y] = x

    row = defaultdict(list)
    col = defaultdict(list)
    for i, (x, y) in enumerate(points):
        row[x].append(i)
        col[y].append(i)

    for v in row.values():
        for i in range(1, len(v)):
            union(v[0], v[i])

    for v in col.values():
        for i in range(1, len(v)):
            union(v[0], v[i])

    return len(set(find(i) for i in range(n))) - 1

if __name__ == '__main__':
    print(solution(2, [[1, 1], [2, 2]]) == 1)
    print(solution(3, [[1, 2], [2, 3], [4, 1]]) == 2)
    print(solution(4, [[3, 4], [5, 6], [3, 6], [5, 4]]) == 0)