8. 找出整型数组中占比超过一半的数——“摩尔投票法”解决超半数问题

题目

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方法一：字典统计法

思路

通过哈希表（字典）统计每个数字的出现次数，并实时更新出现次数最多的数字

• 遍历数组，用字典记录每个数字的出现次数。

• 每次更新字典时，检查当前数字的次数是否超过当前假定答案的次数。如果超过，则更新答案为当前数字。

• 遍历完成后，返回最终答案（即出现次数最多的数字）。

代码

def solution(array):
    # Edit your code here
    ans = array[0]
    my_dict = {}
    for element in array:
        if element not in my_dict:
            my_dict[element] = 1
        else:
            my_dict[element] += 1

        if (my_dict[element] > my_dict[ans]):
            ans = element
    return ans


if __name__ == "__main__":
    # Add your test cases here

    print(solution([1, 3, 8, 2, 3, 1, 3, 3, 3]) == 3)

复杂度

• 时间复杂度 $O(n)$
• 空间复杂度 $O(n)$，最坏的情况下数组中所有数字都不重复，需要 $O(n)$ 的额外空间

方法二：摩尔投票法

注意到，题目中有一个条件是，某个数字的出现次数超过了数字总数的一半。然后这个条件在方法一中没有被使用，方法一更为通用，同时意味着有更好的解法。

摩尔投票法

摩尔投票法又称多数投票算法，是一种用来寻找一组元素中占多数元素的常数空间复杂度（$O(1)$）、线性时间复杂度（$O(n)$）算法。这一算法应用的问题原型是在集合中寻找可能存在的多数元素，这一元素在输入的序列重复出现并占到了序列元素的一半以上。

思路

摩尔投票法的核心思路是抵消策略：如果一个数字的出现次数超过数组长度的一半，那么将它与其他数字一一抵消，最终剩下的数字必定是这个数字。

分为两阶段实现：

• 第一阶段：通过遍历数组找到候选元素。

• 第二阶段：验证候选元素是否真的超过数组长度的一半（只有在题目未明确保证存在满足条件的元素时需要验证）。

代码

def solution(array):
    # Edit your code here
    # 第一阶段：找出候选元素
    candidate = None
    count = 0

    for num in array:
        if count == 0:  # 如果计数为0，更新候选元素
            candidate = num
            count = 1
        elif num == candidate:  # 如果当前元素等于候选元素，计数+1
            count += 1
        else:  # 否则，计数-1
            count -= 1

    # 第二阶段：验证候选元素是否满足条件（此题可以直接return candidate）
    count = 0
    for num in array:
        if num == candidate:
            count += 1

    return candidate if count > len(array) // 2 else None


if __name__ == "__main__":
    # Add your test cases here

    print(solution([1, 3, 8, 2, 3, 1, 3, 3, 3]) == 3)

复杂度

• 时间复杂度：

  • 第一阶段遍历数组一次：$O(n)$。
  • 第二阶段验证候选元素（必要时）：$O(n)$，当然这题直接return candidate即可。
  • 总体时间复杂度：$O(n)$。

• 空间复杂度：

  • 只使用常数额外空间：$O(1)$。

总结

• 如果明确保证一定存在众数，且数据规模较大，使用摩尔投票法。
• 如果不确定众数是否存在，或者更追求实现简单，使用字典统计方法。