[动态规划]:332.二进制字符串单调递增问题

问题描述

小S有一个二进制字符串 s，他可以将任意 0 翻转为 1，或将 1 翻转为 0，以使字符串变为单调递增的形式。一个字符串是单调递增的，当它是由一些 0（可能没有 0）跟随一些 1（可能没有 1）组成的。

你的任务是帮助小S计算使字符串单调递增的最小翻转次数。

例如：当 s = "00110" 时，最小的翻转次数是 1，可以将第二个 1 翻转为 0 使字符串变为 "00010"。

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测试样例

样例1：

输入：s = "00110" 输出：1

样例2：

输入：s = "010110" 输出：2

样例3：

输入：s = "00011000" 输出：2

样例4：

输入：s = "11100" 输出：2

解题思路

• 由于可以0变1和1变0，我们考虑字符串以0结尾和以1结尾的情况，两种情况取最小变化

• 设$f[i][0]$表示在第$i$个字符时，以0结尾的最小变化数量

• 设$f[i][1]$表示在第$i$时，以1结尾的最小变化数量

• 如果当前字符$s_i=0$

  • $f[i][0] = f[i-1][0]$，由$f[i-1]$以0结尾的次数转换过来
  • $f[i][1] = min(f[i-1][0], f[i-1][1]) +1$, 由$f[i-1]$的最小次数 + 1(当前字符变为1)转换

• 如果当前字符$s_i=1$

  • $f[i][0] = f[0] + 1$ ，只能由$f[i-1]$以0结尾的次数+1转换过来，因为要求单调递增
  • $f[i][1] = min(f[i-1][0], f[i-1][1])$， 得到前面的最小转换次数,当前字符不需要转换

• 最后取$min(f[n][0],f[n][1])$即可

核心代码

int solution(const string& s) {
    int n = s.length();
    vector<vector<int>> f(n + 1, vector<int>(2, 0));

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (s[i - 1] == '0') {
            f[i][0] = f[i - 1][0];  
            f[i][1] = min(f[i - 1][0], f[i - 1][1]) + 1;  
        } else {
            f[i][0] = f[i - 1][0] + 1;  
            f[i][1] = min(f[i - 1][0], f[i - 1][1]); 
        }
    }
    
    return min(f[n][0], f[n][1]);
}

优化

• 可以看出当前$f[i]$只依赖于$f[i-1]$,我们可以用两个变量来代替

• $f0$表示以0结尾的最小转换次数， $f1$表示以1结尾的最小转换次数

• 当$s_i = 0$时，

  • $f1$由$min(f0 , f1) + 1$得到
  • $f0$不变

• 当$s_i = 1$时,

  • $f1 = min(f0, f1)$
  • $f0++$ ，这一步要在后面，因为$f1$的变化依赖于$f0$

优化代码

int solution(const string& s) {
    int n = s.length();
    int f0 = 0, f1 = 0;
    for(int i=0; i < n; i++) {
        f1 = min(f0, f1) + (s[i] == '0');
        f0 += s[i] == '1';
    }
    return min(f0, f1);
}