Sherman-Morrison-Woodbury公式更为一般的形式（SMW）证明

大成952
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（Sherman-Morrison-Woodbury公式更为一般的形式）

设矩阵A∈Rn×nA\in \mathbb{R}^{n \times n} 可逆, ,\,经过一个秩为m(m≤n)m(m \le n )的矩阵修正为A+RSTTA+RST^{\mathrm{T}} , ,\,其中 R,T∈Rn×mR,T\in \mathbb{R}^{n \times m} , ,\, S∈Rm×mS \in \mathbb{R}^{m \times m}.证明：

(A+RSTT)−1=A−1−A−1RU−1TTA−1,(A+RST^{\mathrm{T}})^{-1}=A^{-1}-A^{-1}RU^{-1}T^{\mathrm{T}}A^{-1},

其中U=S−1+TTA−1A−1RU=S^{-1}+T^{\mathrm{T}}A^{-1}A^{-1}R.

Proof: 构造矩阵P=[S−1n×m−TTm×nRn×mAn×n]P=\begin{bmatrix} {S^{-1}}_{n \times m}&-{T^{\mathrm{T}}}_{m \times n} \\ R_{n\times m} &A_{n \times n} \end{bmatrix}

对矩阵PP分别作LDULDU分解和UDLUDL分解, ,\,有

P=[S−1n×m−TTm×nRn×mAn×n]=LDU分解[IORSI][S−1OOA+RST−1][I−STTOI]P=\begin{bmatrix} {S^{-1}}_{n \times m}&-{T^{\mathrm{T}}}_{m \times n} \\ R_{n\times m} &A_{n \times n} \end{bmatrix} \overset{LDU\text{分解}}{\xlongequal{\quad\quad}} \begin{bmatrix} I&O \\ RS &I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} S^{-1}&O \\ O &A+RST^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I&-ST^{\mathrm{T}} \\ O &I \end{bmatrix}
P=[S−1n×m−TTm×nRn×mAn×n]=LDU分解[I−TTAOI][S−1+TTAROOA][IOA−1RI]P=\begin{bmatrix} {S^{-1}}_{n \times m}&-{T^{\mathrm{T}}}_{m \times n} \\ R_{n\times m} &A_{n \times n} \end{bmatrix} \overset{LDU\text{分解}}{\xlongequal{\quad\quad}} \begin{bmatrix} I&-T^{\mathrm{T}}A \\ O &I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} S^{-1}+T^{\mathrm{T}}AR&O \\ O &A \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I&O \\ A^{-1}R &I \end{bmatrix}

对矩阵PP分别求逆, ,\,有

P−1=[ISTTOI][SOO(A+RST−1)−1][IO−RSI]=[S−STT(A+RSTT)−1RSSTT(A+RSTT)−1−(A+RSTT)−1RS(A+RSTT)−1]\begin{aligned} P^{-1}=& \begin{bmatrix} I&ST^{\mathrm{T}} \\ O &I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} S&O \\ O &(A+RST^{-1})^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I&O \\ -RS &I \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} S-ST^{\mathrm{T}}(A+RST^{\mathrm{T}})^{-1}RS&ST^{\mathrm{T}}(A+RST^{\mathrm{T}})^{-1} \\ -(A+RST^{\mathrm{T}})^{-1}RS &(A+RST^{\mathrm{T}})^{-1} \end{bmatrix} \end{aligned}
P−1=[IO−A−1RI][(S−1+TTAR)−1OOA−1][ITTAOI]=[(S−1+TTAR)−1(S−1+TTAR)−1TTA−(A+RSTT)−1RSA−1−A−1R(S−1+TTAR)−1TTA]\begin{aligned} P^{-1}=& \begin{bmatrix} I&O \\ -A^{-1}R &I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (S^{-1}+T^{\mathrm{T}}AR)^{-1}&O \\ O &A^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I&T^{\mathrm{T}}A \\ O &I \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} (S^{-1}+T^{\mathrm{T}}AR)^{-1}&(S^{-1}+T^{\mathrm{T}}AR)^{-1}T^{\mathrm{T}}A \\ -(A+RST^{\mathrm{T}})^{-1}RS &A^{-1}-A^{-1}R(S^{-1}+T^{\mathrm{T}}AR)^{-1}T^{\mathrm{T}}A \end{bmatrix} \end{aligned}

有矩阵对应元素相等，得

(A+RSTT)−1=A−1−A−1R(S−1+TTA−1A−1R)−1TTA−1.(A+RST^{\mathrm{T}})^{-1}=A^{-1}-A^{-1}R(S^{-1}+T^{\mathrm{T}}A^{-1}A^{-1}R)^{-1}T^{\mathrm{T}}A^{-1}.\\
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