算法题题解记录——4. 数字分组求和

题目

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关键词

动态规划，滚动数组

思路

满足以下3个条件考虑用动态规划：

1. 最优子结构：原问题的最优解可通过子问题的最优解获得；
2. 无后效性：子问题的解一旦确定不会收到后续决策的影响；
3. 子问题重叠：不同的子问题具有共同的子问题，每个子问题都是独立的；

显然该题满足以上条件。

动态规划的求解通常分为以下步骤：

1. 将原问题划分为若干 阶段，每个阶段对应若干个子问题，提取这些子问题的特征（称之为 状态）；
2. 寻找每一个状态的可能 决策，或者说是各状态间的相互转移方式（用数学的语言描述就是 状态转移方程）。
3. 按顺序求解每一个阶段的问题。

解： 记dp1[i]为前i项和为奇数的可能数，dp2[i]为前i项和为偶数的可能性。c1为当前项奇数个数，c2为当前项偶数个数。

则状态转移方程：

代码

def solution(numbers):
    # Please write your code here
    dp1 = [0] * len(numbers)  # 前n项各取一个数和为奇数可能数
    dp2 = [0] * len(numbers)  # 前n项各取一个数和为偶数的可能数
    for i, element in enumerate(numbers):
        c1 = 0  # 当前数字中奇数个数
        c2 = 0  # 当前数字中偶数个数
        while element > 0:
            cur = element % 10
            if cur % 2 == 0:
                c2 += 1
            else:
                c1 += 1
            element //= 10

        if (i == 0):
            dp1[0] = c1
            dp2[0] = c2
        else:
            dp1[i] = dp1[i - 1] * c2 + dp2[i - 1] * c1
            dp2[i] = dp2[i - 1] * c2 + dp1[i - 1] * c1

    return dp2[len(dp2) - 1]


if __name__ == "__main__":
    #  You can add more test cases here
    print(solution([123, 456, 789]) == 14)
    print(solution([123456789]) == 4)
    print(solution([14329, 7568]) == 10)

复杂度

时间复杂度： O(n * m)，其中 n 是 numbers 列表的长度，m 是每个数字字符串的平均长度。

空间复杂度： O(n) 使用了两个长度为 n 的数组 dp1 和 dp2。

优化：利用滚动数组优化空间复杂度

观察到，dp1[i] 和 dp2[i] 的值仅依赖于前一项（dp1[i-1] 和 dp2[i-1]）。因此，实际上我们并不需要存储所有的 dp 状态，而只需要保持上一项的状态即可。因此，我们可以将空间复杂度从 O(n) 降低到 O(1)，只使用常量空间来保存前一项的状态。

代码

def solution(numbers):
    # Please write your code here
    dp1 = 0  # 前n项各取一个数和为奇数可能数
    dp2 = 0  # 前n项各取一个数和为偶数的可能数
    for i, element in enumerate(numbers):
        c1 = 0  # 当前数字中奇数个数
        c2 = 0  # 当前数字中偶数个数
        while element > 0:
            cur = element % 10
            if cur % 2 == 0:
                c2 += 1
            else:
                c1 += 1
            element //= 10

        if (i == 0):
            dp1 = c1
            dp2 = c2
        else:
            temDp1 = dp1 * c2 + dp2 * c1
            temDp2 = dp2 * c2 + dp1 * c1
            dp1 = temDp1
            dp2 = temDp2

    return dp2


if __name__ == "__main__":
    #  You can add more test cases here
    print(solution([123, 456, 789]) == 14)
    print(solution([123456789]) == 4)
    print(solution([14329, 7568]) == 10)

总结

1. python中 a // b（地板除）即js中的 Math.floor(a / b)，//= （地板除赋值）；
2. pyhon中没有 ++（自增操作符） 和 --（自减操作符）；
3. python中， 通过索引赋值时要注意，如果索引不在数组范围内会报IndexError错误，因此往往需要提前声明好数组长度，或者使用 append 方法；

arr = []
arr[0] = 1 # IndexError: list assignment index out of range

4. 滚动数组技术是一种在动态规划中优化空间复杂度的常用技巧。通过只保留当前状态和前一状态，可以有效地将空间复杂度从 O(n) 降低到 O(1)。这种技术常用于解决“前一项”依赖的动态规划问题，如斐波那契数列、最大子数组和、背包问题等。