[高精度]:55.二进制之和

问题描述

小U和小R喜欢探索二进制数字的奥秘。他们想找到一个方法，将两个二进制字符串相加并以十进制的形式呈现。这个过程需要注意的是，他们的二进制串可能非常长，所以常规的方法可能无法处理大数。小U和小R希望你帮助他们设计一个算法，该算法能在保证时间复杂度不超过O(n^2)的前提下，返回两个二进制字符串的十进制求和结果。

测试样例

样例1：

输入：binary1 = "101" ,binary2 = "110" 输出：'11'

样例2：

输入：binary1 = "111111" ,binary2 = "10100" 输出：'83'

样例3：

输入：binary1 = "111010101001001011" ,binary2 = "100010101001" 输出：'242420'

样例4：

输入：binary1 = "111010101001011" ,binary2 = "10010101001" 输出：'31220'

样例5：

输入：binary1 = "11" ,binary2 = "1" 输出：'4'

解题思路

• 由于二进制数过长，直接转换肯定是不行的，我们通过模拟加法(高精度)得到求和后的字符串

  • 举个例子,模拟二进制加法 $a=110, b=101$, 我们从低位开始模拟
  • $0 + 1 + 0(进位) = 1$ ,进制为$2$,进位$1 / 2 = 0$, $ans = 1$
  • $1 + 0 + 0(进位) = 1$ ,进制为$2$,进位$1 / 2 = 0$, $ans = 11$
  • $1 + 1 + 0(进位) = 2$ ,进位为$2$,进位$2 / 2 = 1$, 剩$2\%2 = 0,ans =110$
  • $0 + 0 + 1(进位) = 1$ ,进位为$2$,进位$1 / 2 = 0$, 剩$1\%2 = 1,ans =1101$
  • 由于$ans$存储的是低位到高位，我们进行反转后就是答案 $ans = 1011$
  • 如果想计算其他进制的求和，把$/2和\%2$换成相应进制即可

• 二进制加法解决了，现在考虑如何把求和后的二进制数转为十进制

• 常规的二进制转十进制计算方法为:

  • $b_n \times 2^n + b_{n-1} \times 2^{n-1} + \cdots + b_1 \times 2^1 + b_0 \times 2^0$
  • 可以看出$n$足够大时，我们无法计算出$2^n$（$py$请忽略）
  • 考虑将式子拆分，比如前两项$b_n \times 2^n + b_{n-1} \times 2^{n-1}$
  • $b_n \times 2^n = (b_n \times 2)\times2^{n-1}$此时可以和第二项合并得
  • $b_n \times 2^n + b_{n-1} \times 2^{n-1} = (b_n\times2 + b_{n-1})\times2^{n-1}$
  • 我们把此时括号中的设为$x$,来推导下一项
  • $x\times 2^{n-1} + b_{n-2} \times a^{n-2}$按照一样的方法可以得到
  • $(2x + b_{n-2}) \times 2^{n-2}$
  • 可以看出是一个逐渐相乘的过程，我们最后会计算到$2^0$
  • 括号中就是$((((b_n\times 2)+b_{n-1})\times 2)+b_{n-2})\times2 ...$
  • $\times 2$的操作我们可以换为高精度加法，就不会导致溢出问题了

核心代码

//高精度加法
string calc(string a, string b, int d) {
    string ans = "";
    int i = a.size() - 1; 
    int j = b.size() - 1;
    int carry = 0;
    while(i >= 0 || j >= 0 || carry > 0) {
        int s = 0;
        if(i >= 0) s += a[i] -'0', i--;
        if(j >= 0) s += b[j] -'0', j--;
        s += carry;
        carry = s / d;
        s = s % d;
        ans += to_string(s);
    }
    reverse(ans.begin(),ans.end());
    return ans;
}

std::string solution(std::string binary1, std::string binary2) {
    string s = calc(binary1, binary2, 2);
    string ans = "0";

    for(int i=0; i < s.length(); i++) {
        ans = calc(calc(ans, ans, 10),string(1,s[i]), 10);
    }
    return ans;

}