数据结构｜各种树的复杂度树的复杂度时间复杂度树的时间复杂度分为构建树的时间复杂度和搜索树的时间复杂度。空间复杂度

树的复杂度

时间复杂度

树的时间复杂度分为构建树的时间复杂度和搜索树的时间复杂度。

空间复杂度

计算树的空间复杂度需要考虑以下方面：

树的节点数量

如果一棵树有 $n$ 个节点，每个节点占用的内存是固定的（比如节点存储一个值和若干指针），那么 树的节点数量直接影响它的空间复杂度。节点数量越多，所需的内存越大。
节点存储的内容

每个节点可能包含以下内容：

• 一个值（整数、字符串等）

• 若干指针（如二叉树的左右子树指针）

• 额外数据（如高度、平衡因子等）

假设一个节点的存储大小是常数 $C$ ,整个树的存储空间复杂度为 $O(C*n)=O(n)$

• 二叉树：每个节点有两个指针（左右子树），因此总指针数量为 $2n$ ，空间复杂度仍为 $O(n)$ 。

• 完全二叉树：可以用数组存储，因此不需要额外指针，空间复杂度为 $O(n)$ 。

• 多叉树：如果每个节点可以有 $k$ 个子节点，那么需要存储 $kn$ 个指针,空间复杂度为 $O(n)$ 。
递归栈空间

对于树的操作（如遍历、搜索），如果使用递归，会占用额外的栈空间。递归栈的大小与树的高度 $h$ 有关：

递归遍历（如深度优先遍历）

递归遍历树时，函数调用会使用栈存储当前节点及其子节点未完成的任务。栈空间与树的高度 $h$ 成正比：

• 平衡树（如AVL或红黑树）：一棵包含 $n$ 个节点的平衡二叉树，高度为 $O(logn)$ 。

证明：设树的高度为 $h$ ，每一层的节点数量大致翻倍。因此树的节点总数 $n$ 满足 $2^0+2^1+2^2+...2^{h-1}<=n<2^0+2^1+2^2+...2^{h}$ ，即 $2^h-1<=n<2^{h+1}-1$ ，取对数可得 $h \approx \lfloor \log_2(n) \rfloor + 1$

• 退化树（如链表形状的树）：一棵包含 $n$ 个节点的退化树高度为 $h=O(n)$ 。

非递归遍历（如广度优先遍历）

非递归遍历可能使用队列存储当前层的节点，辅助空间复杂度与最大层的节点数有关，最坏情况为 $O(n)$ 。

注意：遍历树占用的栈空间通常不算树的空间复杂度，而是算法的辅助空间复杂度。这在算法分析中是独立考虑的。

通常根据算法的输入数据来讨论树的空间复杂度（建树肯定是为了更好地处理输入数据）。如果输入是一个大小为 $n$ 的数据集，并需要基于此构建一个树形结构来进行索引和查询操作，那么树的空间复杂度与输入数据集的大小 $n$ 相关。