算法题题解记录——2. 徒步旅行中的补给问题

题目

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关键词

动态规划、贪心

方法一：动态规划

思路

旅行到第i天的最小花费不会因为后一天的食物价格而变化（无后效性），因此我们容易想到动态规划求解。那我们可以设置一个状态数组dp，dp[i]表示旅行到第i天时的最小花费。

因为一份食物最多存留k天，要保证dp[i]花费最小，当天的食物需要在最近的k天中买最小价格的食物。因此得到状态转移方程：

代码

function solution(n, k, data) {
    // Edit your code here
    let dp = [data[0]]
    for (let i = 1; i < data.length; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + Math.min(...data.slice(Math.max(i - k + 1, 0), i + 1))
    }

    return dp[dp.length - 1];
}

function main() {
    // Add your test cases here
    console.log(solution(5, 2, [1, 2, 3, 3, 2]) === 9);
}

main();

复杂度分析

• 时间复杂度：

  动态规划的时间复杂度计算：状态数 * 状态转移方程的时间复杂度，即 O(n * k)

• 空间复杂度：

  使用了一个长度为n的数组 dp 来存储每一天的最小花费，因此空间复杂度为O(n)。

方法二：贪心

思路

和动态规划一样，贪心也擅长解决最优子结构的问题，子问题的最优解最终能递推到最终问题的最优解。按正常流程是当天要预见将来花费，如果当天花费最小则尽可能的买多。我这里用“后悔贪心”，即先只买当天的，到第二天再“补买”，补买的时候挑过去k天（因为食物最多存留k天）中最便宜的：

代码

function solution(n, k, data) {
    // Edit your code here
    let ans = 0
    let mincout = 10000
    let currentFood = 0
    for (let i = 0; i < n; i++) { 
        if (currentFood < 1) {
            mincout = Math.min(...data.slice(Math.max(i - k + 1, 0), i + 1))
            ans += mincout
            currentFood++
        }
        currentFood--
    }

    return ans
}

function main() {
    // Add your test cases here
    console.log(solution(5, 2, [1, 2, 3, 3, 2]) === 9);
    console.log(solution(6, 3, [4, 1, 5, 2, 1, 3]) === 9);
    console.log(solution(4, 1, [3, 2, 4, 1]) === 10);
}

main();

复杂度分析

• 时间复杂度：

  O(n * k)

• 空间复杂度：

  O(1)

总结

贪心和动态规划都强调将大问题分解为子问题，都强调子问题的无后效性。而他们的不同之处在于贪心总是要在面对每个子问题时做出抉择，不能回退，动态规划则需要状态数组来保存每个子问题的解，后一个解根据前面的解来求出答案。因此，往往动态规划的空间复杂度较高，但思路较容易想到，找准状态意义和转移方程则能得出答案。