闭区间上函数的一致连续性

闭区间上的连续函数是一致连续的。本文给出此命题的一个证明：

假设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续。 用反证法来证明。

假设$f(x)$在$[a,b]$上不是一致连续的。 那么存在一个正数$\epsilon_0$，对于任意的正数$\delta$，都存在$x', x'' \in [a,b]$，使得当$|x' - x''| < \delta$时，有$|f(x') - f(x'')| \geq \epsilon_0$。

特别地，对于$\delta = \frac{1}{n}$（$n$是正整数），存在相应的$x_n', x_n'' \in [a,b]$，满足$|x_n' - x_n''| < \frac{1}{n}$，但$|f(x_n') - f(x_n'')| \geq \epsilon_0$。

因为$\{x_n'\}$是有界数列，根据波尔查诺 - 魏尔斯特拉斯定理，存在一个收敛子列$\{x_{n_k}'\}$，设其极限为$x_0$。 因为$|x_{n_k}' - x_{n_k}''| < \frac{1}{n_k}$，所以$\{x_{n_k}''\}$也收敛于$x_0$。

又因为$f(x)$在$x_0$处连续，所以有$\lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}') = f(x_0)$，$\lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}'') = f(x_0)$。

这意味着$\lim_{k \to \infty} (f(x_{n_k}') - f(x_{n_k}'')) = 0$，但是$|f(x_{n_k}') - f(x_{n_k}'')| \geq \epsilon_0$，产生矛盾。

所以假设不成立，即$f(x)$在$[a,b]$上是一致连续的。

附： 波尔查诺 - 魏尔斯特拉斯定理的一种证明。

设数列$\{x_n\}$是有界数列。 因为$\{x_n\}$有界，所以存在$M > 0$，使得$|x_n| \leq M$对所有的$n$成立。

将区间$[-M, M]$等分成两个子区间：$[-M, 0]$和$[0, M]$。 由于数列$\{x_n\}$有无穷多项，所以至少其中一个子区间包含数列$\{x_n\}$的无穷多项。

选取这样的一个子区间，记为$[a_1, b_1]$。 再将$[a_1, b_1]$等分成两个子区间，同样至少有一个子区间包含数列$\{x_n\}$的无穷多项，记为$[a_2, b_2]$。

重复上述过程，得到一系列闭区间$[a_1, b_1], [a_2, b_2], \cdots, [a_k, b_k], \cdots$，满足：

1. $[a_{k + 1}, b_{k + 1}] \subseteq [a_k, b_k]$；
2. $b_k - a_k = \frac{b_1 - a_1}{2^k}$，且当$k \to \infty$时，$b_k - a_k \to 0$；
3. 每个$[a_k, b_k]$都包含数列$\{x_n\}$的无穷多项。

由区间套定理，存在唯一的点$x_0$属于所有的闭区间$[a_k, b_k]$。 现在从每个区间$[a_k, b_k]$中选取一项$x_{n_k}$，使得$n_1 < n_2 < n_3 < \cdots$。

因为$\lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty} b_k = x_0$，且$a_k \leq x_{n_k} \leq b_k$，所以$\lim_{k \to \infty} x_{n_k} = x_0$。 从而得到数列$\{x_n\}$的一个收敛子列$\{x_{n_k}\}$，收敛于$x_0$。

证毕。