[前后缀分解]:448.最大连续子数组和问题

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题目概述

小C拿到了一个数组，他可以进行最多一次操作：将一个元素修改为任意给定的x。小C想知道，经过这次修改后，能够得到的连续子数组的最大和是多少。

题目修正： 必须进行一次操作，即x对答案无贡献也要进行修改

测试样例

样例1：

输入：n = 5 ,x = 10 ,a = [5, -1, -5, -3, 2]
输出：15

样例2：

输入：n = 2 ,x = -3 ,a = [-5, -2]
输出：-2

样例3：

输入：n = 6 ,x = 10 ,a = [4, -2, -11, -1, 4, -1]
输出：15

前置知识

• 连续子数组： 即数组中连续的一段区间，比如$[1,2,3]$有6个连续子数组：

  • $[1],[2],[3],[1,2],[2,3],[1,2,3]$
  • $[1,3]$属于子序列(区间中可以删除一些元素，但不改变原顺序的序列)

• 前缀和： $sum[i] = a[0] + a[1] + a[2]+...+a[i-1]$

• 后缀和： 反向前缀和: $suf[i] = a[n-1] + a[n-2] + ... + a[i+1]$

解题思路

• 考虑朴素解法，对于$a[i]$，我们要考虑计算出它前面最大的贡献和后面的最大贡献，再考虑是否要替换成$x$

  • $a = [1,2,3,4,5], x = 5$。当$i = 2$时，计算前面$1 + 2$,后面$4 + 5$， 当前$a[i]< x$替换
  • 这个操作很慢，因为需要遍历当前$a[i]$的前面和后面，整体复杂度为$O(n^2)$

• 考虑优化， 计算前面和后面其实是一个重复的操作

• 我们用$pre$数组表示前缀和，$pre[i]$即在$a[i]$之前的所有元素的和(不包含$a[i]$)

• 用$suf$数组表示后缀和， $suf[i+1]$即在$a[i]$之后的所有元素的和(不包含$a[i]$)

• 特别的，本题存在负数，当前缀和(后缀)中某一段小于0，那么对于答案没有贡献，直接改为0

  • $a = [4,-9,6,-6,4]$
  • $pre = [0,4,0,6,0,4]$
  • $suf = [4,0,6,0,4,0]$

• 特别的

  • 当数组元素均为负数且最大值小于$x$时，答案为$x$
  • 当$x$小于数组所有元素，(原题意是不考虑这个情况的),需要提前将最小值换为$x$， 替换并不影响后续操作，因为x小于所有数

核心代码

int solution(int n, int x, std::vector<int> a) {
    vector<int>pre(n+1),suf(n+1);
    int idx = 0;
    for(int i=0;i < n;i++)
        if(a[i] < a[idx]) idx = i;
    if(a[idx] > x) a[idx] = x;

    for(int i=1; i <= n; i++)pre[i] = max(pre[i-1] + a[i-1], 0); 
    for(int i=n-1; i >= 0; i--) suf[i] = max(suf[i+1] + a[i], 0);

    int ans = 0;
    int mx = a[0];
    for(int i=0; i < n; i++) {
        ans = max(ans, pre[i] + max(a[i],x) + suf[i+1]);
        mx = max(mx, a[i]);
    }
    if(mx < 0)return max(mx, x);

    return ans;


}