前言
上一篇文章我们简单介绍了一维前缀和和二维前缀和的基本概念和求解方法，并介绍了求得子矩阵加和的方法，如果没有看，那么下面将会给你指路： 二维前缀和？还不会？一篇教会你0^0!
这一节所要讲的差分和前缀和有着很大的关系，他们就像是求导和积分一样，差分可以看成是前缀和的逆运算。
一维差分
一维差分很简单，总结起来就是一个公式：
nums[i]=presum[i]-presum[i-1] //即为presum[i]=presum[i-1]+nums[i]的变形
一维前缀和数组可以通过原数组进行前缀和运算得到，而一维差分的目的：就是从已知的前缀和数组反过来求取原数组。
下面我们来一道例题练习一下吧。
例题
输入一个长度为 n 的整数序列。
接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数 l , r , c，表示将序列中 [l,r] 之间的每个数加上 c。
请你输出进行完所有操作后的序列。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
第二行包含 n 个整数，表示整数序列。
接下来 m 行，每行包含三个整数l，r，c，表示一个操作。
输出格式
共一行，包含 n 个整数，表示最终序列。
数据范围
1≤ n , m ≤ 100000
1 ≤ l ≤ r ≤ n
−1000 ≤ c ≤ 1000
−1000 ≤ 整数序列中元素的值 ≤ 1000
输入样例： 6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1
输出样例： 3 4 5 3 4 2
当然，在这里最简单暴力的方法就是利用循环，给原来的数加上c，以达到目的，但是这样会超时哎~ 这时候就要利用我们亲爱的差分数组了。
将输入的数组进行差分运算，构建差分数组。即nums[i]=presum[i]-presum[i-1],如果按照例子给的数据，那么nums[]={1,1,0,-1,1,-1};
第一组数据：1 3 1，在第一个数到第三个数之间，使得其中元素＋1，这个时候我们只需要使得nums[1]=nums[1]+1,即可。我们会惊奇的发现使得nums[1]＋1之后，其后面的前缀和presum[i]的元素全部都+1了，但是呢我们只需要使得其1~3个元素＋1就可以了。所以，我们需要使得第4个元素，nums[4]=nums[4]-1，这样在求前缀和的时候，第4个元素以及以后的元素都不会受到影响了。
例题答案
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int nums[100010];
int presum[100010];
int n,m,l,r,c;
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&presum[i]);
nums[i]=presum[i]-presum[i-1];
}
for(int i=1;i<=m;i++){
cin>>l>>r>>c;
nums[l]+=c;
nums[r+1]-=c;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
presum[i]=presum[i-1]+nums[i];
}
for(int i=1;i<=n;i++){
printf("%d ",presum[i]);
}
return 0;
}
炒鸡无敌大难题
# P3406 海底高铁 洛谷的一道题。
前缀和＆差分，贪心
二维差分
现在我们对于一维差分有了基础的了解了，既然一维差分的公式为nums[i]=presum[i]-presum[i-1],那么相信炒鸡无敌牛波一的你一定猜到了二维差分的公式了吧！
没错，二维差分的公式就是由presum[i][j]=presum[i][j-1]+presum[i-1][j]-presum[i-1][j-1]+a[i][j] 变形而来，即：
a[i][j]=presum[i-1][j-1]+presum[i][j]-presum[i][j-1]-presum[i-1][j]; 话不多说，我们直接结合一个例子来看一下！
有一数组presum[6][6],（范围为1~25）其差分数组为nums[6][6],则有：
在这里我们可以清楚的看到presum[][]为nums[][]的前缀和数组。当然就像一维差分数组一样，二维差分数组也很厉害，也有牵一发动全身的特点，倘若我给nums[2][3]+3,那么所有包括nums[2][3]的前缀和都会+3,而不包括它的则值会不变。
如下图所示：
蓝色框内的全部包含nums[2][3]，所以蓝色框所代表的presum[i][j]的元素值均+3，而白色框和绿色框的因为没有包含nums[2][3]，所以其presum[i][j]的值不会发生改变。
二维差分数组改变原矩阵值
在上面一维差分的例题内我们可以使得nums[l]+=c,nums[r+1]-=c,来使得改变元素的值被限定在区间[l,r]之内，那么如果我们要改变子矩阵中的值，该怎么做呢？
首先让我们看一道例题
例题
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1 , y1 , x2 , y2 , c，其中 (x1,y1) 和 (x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。
请你将进行完所有操作后的矩阵输出。
输入格式
第一行包含整数 n,m,q。
接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。
接下来 q 行，每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c ，表示一个操作。
输出格式
共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。
数据范围
1≤n,m≤1000
1≤q≤100000
1≤x1≤x2≤n
1≤y1≤y2≤m
−1000≤c≤1000
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1
输出样例： 2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2
在这题目中，我们可以利用这一段函数来解决：
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
a[x1][y1] += c;
a[x2 + 1][y1] -= c;
a[x1][y2 + 1] -= c;
a[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}
从第一步到第四步：
通过对于元素的逐渐改变使得被改变的区间控制在目标子矩阵内。
例题答案
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;
int n,m,q;
int presum[N][N];
int num[N][N];
void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c){
num[x1][y1]+=c;
num[x2+1][y1]-=c;
num[x1][y2+1]-=c;
num[x2+1][y2+1]+=c;
}
int main(){
cin>>n>>m>>q;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
scanf("%d",&presum[i][j]);
num[i][j] = presum[i][j] - presum[i][j-1] - presum[i-1][j] + presum[i-1][j-1];
}
}
int x1,x2,y1,y2,c;
for(int i=1;i<=q;i++){
scanf("%d %d %d %d %d",&x1,&y1,&x2,&y2,&c);
insert(x1,y1,x2,y2,c);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
presum[i][j]=presum[i][j-1]+presum[i-1][j]-presum[i-1][j-1]+num[i][j];
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
printf("%d ",presum[i][j]);
}
printf("\n");
}
return 0;
}
更多的题
结尾
这一期就是这样啦，一定要巧用差分的性质。比如题目中遇到牵一发动全身的，前面变量值改变导致后面所有变量值改变的，就要考虑考虑前缀和＆差分了。
如果文章内容有错误，欢迎指出，一起进步！
学习内容来源： 洛谷：www.luogu.com.cn/
Acwing：www.acwing.com/about/
大佬的前缀和＆差分文章：blog.csdn.net/m0_74215326…
新手学算法建议去Acwing刷一刷基础题，然后去洛谷和力扣找更多的题！拜拜！
