从短时傅里叶变换到小波变换小波变换，可以视为短时傅里叶变换的变体，用于更灵活地分析信号分频随时间的变化。小波变换等价于自

小波变换，可以视为短时傅里叶变换的变体，用于更灵活地分析信号分频随时间的变化情况。

短时傅里叶变换

傅里叶变换可以告诉我们一个信号包含的频率的信息。

但是傅里叶变换不能获知信号频率随时间的变化（只能获得整个信号的平均频率内容）。最简单的解决方法是，用一个短时间的滑动窗口，对不同时间段的信号进行傅里叶变换，进而获得随时间变化的频谱。这就是短时傅里叶变换（Short-Time Fourier Transform， STFT）。

STFT 中的窗口函数及其大小选择是分析的关键，频率分辨率和时间分辨率必须进行取舍。窄窗口提供较高的时间分辨率，但频率分析需要足够的周期来准确估计（具体现象是低频模糊）；宽窗口可提供较高的频率分辨率，从而更准确地确定低频成分，但是会牺牲时间分辨率。

这就是海森堡测不准原理。它指出：信号的时宽和频宽不可能同时任意地窄。

虽然不能打破规则，但有没有折中的选择？

剧透一下，小波变换等价于自动变化窗口大小的短时傅里叶变换：对于低频窗口更宽，对于高频窗口更窄。

小波变换的基本思路：借助一个小波函数 $\Psi(t)$ ，用其缩放尺度为 $a$ 、时间偏移为 $b$ 的变体，计算其与目标信号 $y(t)$ 的契合程度。

小波的缩放和时间平移可以这样表示：

\Psi_{a,b}(t)=\Psi(\frac{t-b}{a})

用下式计算在缩放为 $a$ 和时偏为 $b$ 下小波与目标信号的契合程度。就像卷积一样！

T(a,b)=\int^{+\infin}_{-\infin}y(t)\cdot \Psi_{a,b}(t)\mathrm{d}t

由于 $a$ 决定小波频率、 $b$ 决定小波所处时间位置，我们可以有一系列的 $a$ $b$ 取值，从频率和时间内两个维度上扫描目标信号。这就是小波变换的过程。

小波函数 $\Psi(t)$ 并不是固定的，针对不同任务可以换用不同的小波函数。但它们都应当满足：

一，不含有零频分量（均值为 0）。

\int^{+\infin}_{-\infin}\Psi(t)\mathrm{d}t=0

二，拥有时间局部性（能量有限）。

\int^{+\infin}_{-\infin} \left |\Psi(t)\right |^2\mathrm{d}t<\infin

一种叫做 Morlet 的小波如下定义：

\Psi(t)=k_0 e^{i\omega_0 t}\cdot e^{-t^2/2}

计算其实部和虚部与目标信号的两个 $T(a,b)$ 后，计算模长即可获知契合度。

小波变换涉及到平移，但平移可能会“跑出”目标信号的实际范围，导致边缘的变换结果不可靠且不稳定（受零填充或其他边界处理影响）。显然，频率越低，边缘效应越严重。

这会让小波变换结果图（横轴时间纵轴频率）产生一个锥形区域。只有锥形区域边界内的变换结果是可靠的。

Artem Kirsanov，“Wavelets: a mathematical microscope”，www.bilibili.com/video/BV1R4… 、 www.youtube.com/watch?v=jnx…
Mr.看海，“从傅里叶变换，到短时傅里叶变换，再到小波分析（CWT），看这一篇就够了（附MATLAB傻瓜式实现代码）”，zhuanlan.zhihu.com/p/589651368